第四章集对分析方法及应用 第一节三次数学危机与不确定性 公元前5世纪,古希腊数学家毕达哥拉斯认为“一切数均可表成整数或整数之比”。但他 的一个学生考虑了如下问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少?结果发现这一长度既 不能用整数也不能用分数表示,而只能用√2表示,诞生了第一个无理数,也导致了人们认识 上的危机,史称“第1次数学危机”。 第1次数学危机告诉我们:确定中有不确定,“有理”中有“无理”。 第2次数学危机十七世纪初,微积分诞生,当时的微积分理论建立在无穷小分析之上 但什么是无穷小,无穷小量是不是零?无穷小分析是否合理?谁也说不清,由此引起数学界 长达100多年的争论,直到19世纪初,一些数学家才致力于微积分严格基础的建立,这一 争论,史称“第2次数学危机” 第2次数学危机告诉我们:无穷小具有不确定性。 第3次数学危机十九世纪下半叶,德国数学家康托尔( Georg Cantor,1845-1918)创立了 集合论,开始时遭到许多人的攻击,但最终为大家所接受。数学家们发现,从自然数与康托 尔集合论出发可建立起整个数学大厦,集合论因而成为现代数学的基石。 罗素悖论但在1903年,英国数学家罗素( bertrand russel,1872-1970)构造了一个集合S: S由一切不是自身的元素所组成的集合。然后罗素问:S是否属于S?根据排中律,一个元素 或者属于某个集合,或者不属于这个集合。因此,对于一个给定的集合,问是否属于它自己 是有意义的。就如我们问:我们自己是否属于自己? 对罗素问题的回答会陷入两难境地:如果S属于S,根据S的定义,S就不属于S:反 之,如果S不属于S,同样根据定义,S属于S,无论如何都自相矛盾 罗素举了一个例子:理发师悖论 村上一个理发师贴出服务公告,宣称他为所有不为自己理发的人理发(设这些人组成集 合A),那么,理发师自己的头该由谁理发? 如果他不为自己理发,那么,理发师属于A:;但这样一来,理发师就不能给自己理发了, 也就不能属于A,那么,理发师自己的头究竞该由谁理发? “羊群中也可能围进了狼”罗素悖论的发现,说明了作为数学基础的集合论存在着矛盾 这个矛盾是如此的显而易见,在构造一个集合时就存在于这个集合中,震动了当时的数学界, 正如著名的法国数学家庞加莱( Henri Poincare,1854-1912)所坦言,“我们围住了一群羊,然 而在羊群中也可能围进了狼”,史称“第3次数学危机”。 100多年来数学家们围绕集合论中的罗素悖论,开展了广泛的,长时期的激烈争论,纷 纷提出自己的解决方案,希望能够通过对康托尔集合论的改造来排除悖论,形成了逻辑主义、 直觉主义、形式主义三大数学流派,促进了现代数学的发展。 哥德尔不完全性定理。美国数学家哥德尔( Kurt godel,1906-1978)于1931年给出证明 100100 第四章 集对分析方法及应用 第一节 三次数学危机与不确定性 公元前 5 世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯认为“一切数均可表成整数或整数之比”。但他 的一个学生考虑了如下问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少？结果发现这一长度既 不能用整数也不能用分数表示，而只能用√2 表示，诞生了第一个无理数,也导致了人们认识 上的危机，史称“第 1 次数学危机”。 第 1 次数学危机告诉我们：确定中有不确定,“有理”中有“无理”。 第 2 次数学危机十七世纪初，微积分诞生，当时的微积分理论建立在无穷小分析之上， 但什么是无穷小，无穷小量是不是零？无穷小分析是否合理？谁也说不清，由此引起数学界 长达 100 多年的争论， 直到 19 世纪初，一些数学家才致力于微积分严格基础的建立，这一 争论，史称“第 2 次数学危机”。 第 2 次数学危机告诉我们：无穷小具有不确定性。 第 3 次数学危机十九世纪下半叶，德国数学家康托尔（Georg Cantor, 1845-1918）创立了 集合论，开始时遭到许多人的攻击，但最终为大家所接受。数学家们发现，从自然数与康托 尔集合论出发可建立起整个数学大厦，集合论因而成为现代数学的基石。 罗素悖论但在 1903 年，英国数学家罗素（bertrand russell ,1872-1970）构造了一个集合 S： S 由一切不是自身的元素所组成的集合。然后罗素问：S 是否属于 S？根据排中律，一个元素 或者属于某个集合，或者不属于这个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己 是有意义的。就如我们问：我们自己是否属于自己？。 对罗素问题的回答会陷入两难境地：如果 S 属于 S，根据 S 的定义，S 就不属于 S；反 之，如果 S 不属于 S，同样根据定义，S 属于 S，无论如何都自相矛盾。 罗素举了一个例子：理发师悖论 村上一个理发师贴出服务公告，宣称他为所有不为自己理发的人理发（设这些人组成集 合 A），那么，理发师自己的头该由谁理发？ 如果他不为自己理发，那么，理发师属于 A；但这样一来，理发师就不能给自己理发了， 也就不能属于 A，那么，理发师自己的头究竞该由谁理发？ “羊群中也可能围进了狼” 罗素悖论的发现，说明了作为数学基础的集合论存在着矛盾， 这个矛盾是如此的显而易见，在构造一个集合时就存在于这个集合中，震动了当时的数学界， 正如著名的法国数学家庞加莱（Henri Poincare,1854-1912）所坦言，“我们围住了一群羊，然 而在羊群中也可能围进了狼” ，史称“第 3 次数学危机 ”。 100 多年来数学家们围绕集合论中的罗素悖论，开展了广泛的，长时期的激烈争论，纷 纷提出自己的解决方案，希望能够通过对康托尔集合论的改造来排除悖论，形成了逻辑主义、 直觉主义、形式主义三大数学流派，促进了现代数学的发展。 哥德尔不完全性定理。美国数学家哥德尔(Kurt Gödel，1906—1978)于 1931 年给出证明：