任何一个无矛盾的公理体系,只要包含初等算术的陈述,则必定存在一个不可判定命题,用 这组公理不能在有限步内判定其真假。也就是说,在同一个包含初等算术的形式系统中,“无 矛盾”和“完备”是不能同时满足的。 哥德尔不完全性定理是集对分析不确定性系统理论的一个重要思想来源,也是在联系数 中设置i的理论根据之 第3次数学危机告诉我们事物的确定性与不确定性对立统一。 如何客观地认识和处置确定性与不确定性的关系是三次数学危机引出的共性问题 第1次数学危机的启示是确定(的关系)与不确定(的关系)是一个确定一不确定系统, 单位正方形就是这样的一个确定一不确定系统。因为单位正方形的边长1是确定的,但这个 正方形的对角线长2是一个无限不循环小数:一个不能确定的数,这一点让人不可思议 第2次数学危机的启示是当一个无穷小趋于零的时候,它的起始位置与极限位置构成 个集对,无穷小在趋于零的过程中,要经历与起始位置相同、相异、相反3个阶段,其中有 量变,也有质变,在什么位置发生质变具有不确定性,需要具体分析。 第3次数学危机的启示是描述同一个客观事物需要2个集合。就如我们需要2只眼睛看 东西、2个鼻孔嗅气味、2只耳朵听声音、2只手干活、2条腿走路,而这是大自然的设计 也是罗素悖论给我们的启示。 如果有人问:集对分析从哪里来?可以回答:集对分析从3次数学危机中来,是2000 多年来人类探索不确定性的一个新思路。因为第1次数学危机意外地发现了确定中有不确定, 2000多年后的第3次数学危机又无意中在“羊群”中围进了“狼”,充分表明不确定性与确定 性是天生的一对,历经2000多年风和雨,形影相随不分离 在罗素悖论中,如果用一个确定的集合A描述不能为自己理发的人,用另一个不确定的 集合B描述理发师自己,再用A+Bi描述理发师的全部服务对象(i表示不确定),虽然没 有解决理发师由谁理发的问题,但避开了悖论,也客观地描述了理发师的全体服务对象,从 而给罗素悖论和第3次数学危机一种全新的解读。这里的集A和集B是描述理发师的全部服 务对象O( object)所需的两个集合,我们称之为“集对”( Set pair, SP),记为O=(A,B)。 集对就是描述同一个事物所需要的2个集合。这2个集合可以都是确定集,也可以都是 不确定集,也可以1个是确定集,另1个是不确定集。(由两个不确定集组成的集对可解读说 谎者悖论:“我在说的这句话是谎话”。) 什么是集对分析?就是分析2个集合的确定性关系与不确定性关系及其这两类关系的联 系与转化。 每个人都是“集对人”,我们的2只眼睛是一个集对、2个鼻孔是一个集对、2只耳朵是 个集对、2只手是一个集对、2条腿是一个集对,从这个意义上说,集对是一个天然的概念, 我们每个人都是一个“集对人” 每个人都在“集对分析”。集对分析是一种自然的分析,我们每个人都在“集对分析”例如 我们看到眼前,又看到长远:眼前是确定的,长远具有不确定性;我们需要物质,也需要精 神:物质是确定的,精神具有不确定性:如此等等。 在集对O=(A,B)中,如果用A表示确定集A的基数,用B表示不确定集B的基数,用 i表示不确定,且在[-1,1]取值,就得到联系数u=A+Bi,显然,联系数u=A+Bi是 关于对象集O的两个映射集合的联合函数,是罗素悖论的一个数学模型。同时也是集对O (A,B)的特征函数。101 任何一个无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用 这组公理不能在有限步内判定其真假。也就是说，在同一个包含初等算术的形式系统中，“无 矛盾”和“完备”是不能同时满足的。 哥德尔不完全性定理是集对分析不确定性系统理论的一个重要思想来源，也是在联系数 中设置 i 的理论根据之一。 第 3 次数学危机告诉我们事物的确定性与不确定性对立统一。 如何客观地认识和处置确定性与不确定性的关系是三次数学危机引出的共性问题。 第 1 次数学危机的启示是确定（的关系）与不确定（的关系）是一个确定－不确定系统， 单位正方形就是这样的一个确定－不确定系统。因为单位正方形的边长 1 是确定的，但这个 正方形的对角线长√2 是一个无限不循环小数：一个不能确定的数，这一点让人不可思议。 第 2 次数学危机的启示是当一个无穷小趋于零的时候，它的起始位置与极限位置构成一 个集对，无穷小在趋于零的过程中，要经历与起始位置相同、相异、相反 3 个阶段，其中有 量变，也有质变，在什么位置发生质变具有不确定性，需要具体分析。 第 3 次数学危机的启示是描述同一个客观事物需要 2 个集合。就如我们需要 2 只眼睛看 东西、2 个鼻孔嗅气味、2 只耳朵听声音、2 只手干活、2 条腿走路，而这是大自然的设计， 也是罗素悖论给我们的启示。 如果有人问：集对分析从哪里来？可以回答：集对分析从 3 次数学危机中来，是 2000 多年来人类探索不确定性的一个新思路。因为第 1 次数学危机意外地发现了确定中有不确定， 2000 多年后的第 3 次数学危机又无意中在“羊群”中围进了“狼” ，充分表明不确定性与确定 性是天生的一对，历经 2000 多年风和雨，形影相随不分离。 在罗素悖论中，如果用一个确定的集合 A 描述不能为自己理发的人，用另一个不确定的 集合 B 描述理发师自己，再用 A＋B i 描述理发师的全部服务对象（ i 表示不确定），虽然没 有解决理发师由谁理发的问题，但避开了悖论，也客观地描述了理发师的全体服务对象，从 而给罗素悖论和第 3 次数学危机一种全新的解读。这里的集 A 和集 B 是描述理发师的全部服 务对象 O（object）所需的两个集合，我们称之为“集对”（Set pair,SP），记为 O＝（A，B）。 集对就是描述同一个事物所需要的 2 个集合。这 2 个集合可以都是确定集，也可以都是 不确定集，也可以 1 个是确定集，另 1 个是不确定集。（由两个不确定集组成的集对可解读说 谎者悖论：“我在说的这句话是谎话”。） 什么是集对分析？就是分析 2 个集合的确定性关系与不确定性关系及其这两类关系的联 系与转化。 每个人都是“集对人”，我们的 2 只眼睛是一个集对、2 个鼻孔是一个集对、2 只耳朵是一 个集对、2 只手是一个集对、2 条腿是一个集对，从这个意义上说，集对是一个天然的概念， 我们每个人都是一个“集对人”。 每个人都在“集对分析”。集对分析是一种自然的分析，我们每个人都在“集对分析”.例如 我们看到眼前，又看到长远；眼前是确定的，长远具有不确定性；我们需要物质，也需要精 神；物质是确定的，精神具有不确定性；如此等等。 在集对 O=(A,B) 中，如果用 A 表示确定集 A 的基数，用 B 表示不确定集 B 的基数，用 i 表示不确定，且在［－1，1］取值，就得到联系数 u＝ A+B i，显然，联系数 u＝ A+B i 是 关于对象集 O 的两个映射集合的联合函数，是罗素悖论的一个数学模型。同时也是集对 O＝ （A，B）的特征函数