解设L是BC的中点则五=是(AB+C在线段AL上取O点使0=3互=喜(B+C, 则O点在△ABC的内部.验证: +OB+ B)+(OA+AC)=30A+ AB+ -(AB+AC)+AB+AC=0 8.设A,B,C,D是一个四面体的四个顶点,M,N分别是边AB,CD的中点.证明 N D+ Bcy 证明如图, CA+C 所以 MN=CN-CM=C CA+CB)=t(AD+BO 第9题图 9.设M是平行四边形ABCD的中心,O是.,一点.证明 +Oc+OD= 40M 证明:如图,因为 OM ),OM=( A+OB+∂C+OD 10.设ABCD是平行四边形,P,Q分别是边BC,CD的中点.证明AP,AQ与.角线BD相于 E,F,而将BD三等分 证明设A=,AD=b,则 AB= b b 又设 AE=kAP (k>0), AF: m> AE=ka+k 6. AF=m6+a 但是 =AB+tB=a+t(b-a)=(1-1)+tb(t>0): LBC , J −→AL = 1 2 ( −→AB+ −→AC). ktxALyzO, ' −→AO = 2 3 −→AL = 1 3 ( −→AB+ −→AC), J O k 4ABC {|. }S: −→OA + −→OB + −→OC = −→OA + (−→OA + −→AB) + (−→OA + −→AC) = 3−→OA + −→AB + −→AC = −( −→AB + −→AC) + −→AB + −→AC = 0. 8.  A, B, C, D Hfllf~, M, N 8 AB, CD . ST: −−→MN = 1 2 ( −→AD + −→BC). :  , −−→CM = 1 2 ( −→CA + −→CB), −−→CN = 1 2 −→CD, #$ −−→MN = −−→CN − −−→CM = 1 2 −→CD − 1 2 ( −→CA + −→CB) = 1 2 ( −→AD + −→BC). ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( s s s s s `                ?  XQQRQQQQQQQ
                        QP ab \ & \& \& ] & \ ' \& \&  M M M M L M M M M L M M M M L M M B D C A M N ￾ 8
010010010100100100 10 01010 0100100 7                 Puuuuuu               7 uuuuuuP  '^\ ] \ \ \ \ \ ] \ \ \ \ \ ] \ \ \  A C B D M O ￾ 9
9.  M  l86 ABCD , O ￾
H. ST: −→OA + −→OB + −→OC + −→OD = 4−−→OM. :  , !" −−→OM = 1 2 ( −→OA + −→OC), −−→OM = 1 2 ( −→OB + −→OD), #$ −→OA + −→OB + −→OC + −→OD = 4−−→OM. 10.  ABCD  l86, P, Q 8 BC, CD . ST AP, AQ B5t BD e< E, F, %v BD 4V. :  −→AB = −→a , −→AD = −→b , J −→BD = −→AD − −→AB = −→b − −→a , −→AP = −→AB + 1 2 −→BC = −→a + 1 2 −→b , −→AQ = −→AD + 1 2 −→DC = −→b + 1 2 −→a . Q −→AE = k −→AP (k > 0), −→AF = m −→AQ (m > 0), J −→AE = k −→a + k 2 −→b , −→AF = m −→b + m 2 −→a . q −→AE = −→AB + t −→BD = −→a + t( −→b − −→a ) = (1 − t) −→a + t −→b (t > 0). · 3 ·