则原方程组变成如下矩阵方程 d 其解为 2(×0-的,x)=ext 对该解求导,可以验证 dx(t) =Aec=Ax(t)且t=0时,x(t)=ec=lc=c=x(0) 表明x(t)确为方程的解,积分常数亦正确 例:求解微分方程组吐 ,初始条件为(01=「 0) 解:A= ,f(A=etA→f(λ) t入 1求出A的特征多项式 =(A2+1)=(λ-j(λ+j), λ=j,m1=1;λ2=-m2=1m=n=2 2定义待定系数的多项式g(λ)=c0+c入 3解方程g(λ)=f(A)=et= cost+jsint=a」。 g(λ2)=f(λ2)=e-lt=cost-」 joint=c-」jc, Co =cost则原方程组变成如下矩阵方程 dx = Ax(t) dt 其解为 tA tA x(t)= e x(0)= e c ⎯⎯⎯⎯→ 更一般的 0 (t-t )A 0 x(t)= e x(t ) 对该解求导，可以验证 dx(t) tA = Ae c = Ax(t) dt 且 t＝0 时， 0A x(t)= e c =Ic = c = x(0) 表明 x(t)确为方程的解，积分常数亦正确 例：求解微分方程组      1 2 2 1 dx = x dt dx = -x dt ， 初始条件为             1 1 2 2 x (0) r = x (0) r 解：       0 1 A = -1 0 ， tA f(A)= e → f(λ)= etλ o 1 求出 A 的特征多项式，  λ 2 -1 (λ)= =(λ +1)=(λ-j)(λ+j) 1 λ ， j= -1 λ1 1 2 2 = j,m = 1;λ = -j,m = 1 m = n = 2 o 2 定义待定系数的多项式 g(λ)= c + cλ 0 1 o 3 解方程 1 1 0 1 2 2 0 1 jt g(λ)= f(λ)= e = cost +jsint = c +jc -jt g(λ)= f(λ)= e = cost -jsint = c -jc    0 1 c = cost c = sint o 4