第9期 石博强等：时变不确定性机械设计方法 ,1051 为： 1可靠度计算数学模型 D(Inx(t))=/ 设(2，F,P)是一个概率空间，F为D上的o代 故lnX(t)是一个均值为lnX(0)十（入-82/2）t、标 数，P为n上的一个概率测度，W(t),0≤t≤T} 准差为8/t的正态分布函数，即 为一维标准布朗运动，t为时间变量，假如，随机变 量X满足： Inx(r)(t.ag dX(t)=X(t)dt+oX(t)dW(t),0≤t≤T (10) (1) 假设强度和应力的对数lnS(t)和lnc(t)是相 式中，入和8为常系数，因而 互独立的随机变量，均值和标准差分别为（马s(), dx(D)=xdt+odw(t) X(t) (2) ins()和(n),in()),由于实际中的应力（强 度)受到确定性因素和不确定性因素的共同作用，确 根据to定理有： 定性因素反映了应力（强度）的变化趋势，不确定性 InX(t)-InX(0)= 此+ 因素反映了应力（强度）的随机差异，二者的耦合行 为对应力（强度）产生的效应以概率演化出现，因此 (3) 本文假设应力和强度服从式(1)，即c(t)和S(t)满 式中，X为随机变量，u为时间变量 足： 令Y(t)=lnX(t),Y(t)为X(t)的函数，把 do(t)=,(t)dt+,o(t)dW(t),0≤t≤T 式(1)代入式(3)可得： (11) Y()-r)++ dS(t)=入S(t)dt+d,s(t)dW(t),0≤t≤T (4) (12) 因为 式中，系数入，为应力的漂移率，入为强度的漂移 Jodu=t,odW.=W:-Wo.Wo=0, 率，⊙。为应力的波动率，心为强度的波动率 由式(6)知： 故 a(t)=(0)exp 8 2 t十，W(t)(13) S(t)=S(0)exp 式中，Wo为运动时间为零的布朗运动，W,为运动 时间为t布朗运动 (14) 对Y(t)作指数运算得到式(I)的解： 因此lnS(t)是一个正态分布： X(t)=X(O)exp (6) ns(e)~Nhso+-的，a月 而lnX(t)的数学期望是： (15) lnS(t)的均值和方差分别是： EnX(t)=ElnX(0)十) Asw=lhs(0入-2的，4sw=. (7) ln(t)也是一个正态分布： 根据式(6)可知： In(a(t))~N In(a(0))+ (16) nxo+X-号的+ lno(t)的均值和方差分别是： 8) 根据期望的对数和对数的期望值之间关系 Aw=no(0)十-2t,w=8. 令Zr=lnS一lno,由于机构的可靠度可以用以下概 In(E(X))=E(InX)+D(InX) (9) 率表示： 式中，D为标准差 R=P(ZR>0),R(t)=P(ZR()0), 将式(7)和(8)代入式(9)，得lnX(t)的标准差 故1 可靠度计算数学模型 设（Ω‚F‚P）是一个概率空间‚F 为Ω上的σ代 数‚P 为Ω上的一个概率测度‚｛W （ t）‚0≤ t≤ T｝ 为一维标准布朗运动‚t 为时间变量．假如‚随机变 量 X 满足： d X（ t）＝λX（ t）d t＋δX（ t）d W（ t）‚0≤t≤ T （1） 式中‚λ和δ为常系数．因而 d X（ t） X（ t） ＝λd t＋δd W（ t） （2） 根据 Ito 定理有： ln X（ t）－ln X（0）＝∫ t 0 d X X ＋ 1 2∫ t 0 －1 X 2δ2X 2d u （3） 式中‚X 为随机变量‚u 为时间变量． 令 Y （ t）＝ln X（ t）‚Y （ t）为 X（ t）的函数‚把 式（1）代入式（3）可得： Y （ t）＝ Y （0）＋∫ t 0 λ－ 1 2 δ2 d u＋∫ t 0 δd Wu （4） 因为 ∫ t 0 d u＝t‚∫ t 0 d Wu＝ Wt－ W0‚W0＝0‚ 故 Y （ t）＝ln X（0）＋ λ－ 1 2 δ2 t＋δW（ t） （5） 式中‚W0 为运动时间为零的布朗运动‚Wt 为运动 时间为 t 布朗运动． 对 Y （ t）作指数运算得到式（1）的解： X（ t）＝X（0）exp λ－ 1 2 δ2 t＋δW（ t） （6） 而 ln X（ t）的数学期望是： E（lnX（ t））＝E lnX（0）＋ λ－ 1 2 δ2 t＋δW（ t） ＝ ln X（0）＋ λ－ 1 2 δ2 t （7） 根据式（6）可知： ln（E（ X（ t）））＝ln E X（0）e λ－ 1 2δ 2 t＋δW（ t） ＝ ln X（0）＋ λ－ 1 2 δ2 t＋ δ t 2 （8） 根据期望的对数和对数的期望值之间关系 ln（E（ X））＝E（ln X）＋ 1 2 D（ln X） （9） 式中‚D 为标准差． 将式（7）和（8）代入式（9）‚得 ln X（ t）的标准差 为： D（ln X（ t））＝δ t 故 ln X（ t）是一个均值为 ln X（0）＋（λ－δ2／2） t、标 准差为 δ t的正态分布函数‚即 ln X（ t）～ N ln X（0）＋ λ－ 1 2 δ2 t‚δ t （10） 假设强度和应力的对数 ln S（ t）和 lnσ（ t）是相 互独立的随机变量‚均值和标准差分别为（μ＾ln S（ t）‚ σ＾ln S（ t））和（μ＾lnσ（ t）‚σ＾lnσ（ t） ）‚由于实际中的应力（强 度）受到确定性因素和不确定性因素的共同作用‚确 定性因素反映了应力（强度）的变化趋势‚不确定性 因素反映了应力（强度）的随机差异‚二者的耦合行 为对应力（强度）产生的效应以概率演化出现‚因此 本文假设应力和强度服从式（1）‚即 σ（ t）和 S（ t）满 足： dσ（ t）＝λσσ（ t）d t＋δσσ（ t）d W（ t）‚0≤t≤ T （11） d S（ t）＝λSS（ t）d t＋δSS（ t）d W（ t）‚0≤t≤ T （12） 式中‚系数 λσ 为应力的漂移率‚λS 为强度的漂移 率‚δσ为应力的波动率‚δS 为强度的波动率． 由式（6）知： σ（ t）＝σ（0）exp λσ－ 1 2 δ2 σ t＋δσW（ t） （13） S（ t）＝S（0）exp λS－ 1 2 δ2 S t＋δSW（ t） （14） 因此 ln S（ t）是一个正态分布： ln S（ t）～ N ln S（0）＋ λS－ 1 2 δ2 S t‚δS t （15） ln S（ t）的均值和方差分别是： μ＾ln S（ t）＝ln S（0）＋ λS－ 1 2 δ2 S t‚σ＾ln S（ t）＝δS t． lnσ（ t）也是一个正态分布： ln（σ（ t））～ N ln（σ（0））＋ λσ－ 1 2 δ2 σ t‚δσ t （16） lnσ（ t）的均值和方差分别是： μ＾lnσ（ t）＝lnσ（0）＋ λσ－ 1 2 δ2 σ t‚σ＾lnσ（ t）＝δσ t． 令 ZR＝ln S－lnσ‚由于机构的可靠度可以用以下概 率表示： R＝P（ZR＞0）‚R（ t）＝P（ZR（ t）＞0）‚ 故 第9期 石博强等： 时变不确定性机械设计方法 ·1051·