教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 f,P,5)-a(,P,5)= ∑[(5)-f()]△x+[(5)-f()△ /(2)(2my(p 综上,即可得证 3.课时安排 本知识点,共计安排2课时 第1课时: Riemann积分定义的实际来源;② Rieman积分的定义( Cauchy叙述,Hein 述) 第2课时:② Riemann积分的定义( Cauchy收敛原理;③ Riemann积分的基本分析性质 4.讲述特点及追求效果 ◇我们将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法,而非仅是逻辑过程。故在 教学过程中,需要三个过程:①实践中所需研究的对象(背景);基于此些对象的共性形 成“数学定义”。②通过数学逻辑研究数学定义,亦即数学分析过程;并获得相关数学结 论,反映为所定义事物的性质或定理。③数学结论“反馈”至实际对象,以期获得对实 际对象更新或更深入的认识。一一上述三个过程对应“数学建模→数学分析→指导实际”, 亦可称为“数学实验”。基于上述理念,我们需要细致说明, Riemann积分的实际来源, 相关研究对象的共性为“分割→选取→求和→求极限”的数学建模过程 ◇ Riemann积分概念的引入,往往基于闭区间上某函数同坐标轴所夹曲边梯形的面积。本教 案,特别设计以平面曲边扇形的面积计算作为研究对象,以期消除“分割→选取→求和 求极限”的数学建模过程仅限于曲边梯形面积计算的误解。实际上述建模过程具有极 其广泛的应用背景,远不止限于力学、物理学等学科, ◇强调 Riemann积分的本质为“部分和极限”一一部分和的一种“逼近行为”,对其认识有 Cauchy叙述, Heine叙述以及 Cauchy收敛原理,三者等价。此部分所涉及的分析思想及 方法基本上完全类比于函数极限的相关分析,故可作为实践“温故而知新”的极佳机会。 ◆作为初步的体会,引入“阿基米德的困惑”,将问题的“解决”提炼为 Rieman积分的相 关性质,并得以证明,以初步展现 Riemann积分的特质“局部改变不影响整体”。需指出 在微积分层面,我们仅处理有限离散间断的情形,进一步可有测度意义上的间断 第5页共6页教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 5 页 共 6 页                 1, * , ˆ ˆˆ ,, ,, ˆ ˆ 2 max sup , N i ii k kk i ik k kk a b f P fP f f x f f x f f x fx C P                                      综上，即可得证。 3. 课时安排 本知识点，共计安排 2 课时： 第 1 课时：①Riemann 积分定义的实际来源；② Riemann 积分的定义（Cauchy 叙述，Heine 叙述） 第 2 课时：② Riemann 积分的定义（Cauchy 收敛原理）；③Riemann 积分的基本分析性质 4. 讲述特点及追求效果  我们将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法，而非仅是逻辑过程。故在 教学过程中，需要三个过程：①实践中所需研究的对象（背景）；基于此些对象的共性形 成“数学定义”。②通过数学逻辑研究数学定义，亦即数学分析过程；并获得相关数学结 论，反映为所定义事物的性质或定理。③数学结论“反馈”至实际对象，以期获得对实 际对象更新或更深入的认识。——上述三个过程对应“数学建模→数学分析→指导实际”， 亦可称为“数学实验”。基于上述理念，我们需要细致说明，Riemann 积分的实际来源， 相关研究对象的共性为“分割→选取→求和→求极限”的数学建模过程。  Riemann 积分概念的引入，往往基于闭区间上某函数同坐标轴所夹曲边梯形的面积。本教 案，特别设计以平面曲边扇形的面积计算作为研究对象，以期消除“分割→选取→求和 →求极限”的数学建模过程仅限于曲边梯形面积计算的误解。实际上述建模过程具有极 其广泛的应用背景，远不止限于力学、物理学等学科。  强调 Riemann 积分的本质为“部分和极限”——部分和的一种“逼近行为”，对其认识有 Cauchy 叙述，Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理，三者等价。此部分所涉及的分析思想及 方法基本上完全类比于函数极限的相关分析，故可作为实践“温故而知新”的极佳机会。  作为初步的体会，引入“阿基米德的困惑”，将问题的“解决”提炼为 Riemann 积分的相 关性质，并得以证明，以初步展现 Riemann 积分的特质“局部改变不影响整体”。需指出， 在微积分层面，我们仅处理有限离散间断的情形，进一步可有测度意义上的间断