教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 2.有限个离散点上的改变不影响 Riemann积分。 渠 g(x) 现需计算上述土地的面积,因灌溉之需在某些位置c(1j≤0上开有水渠(设水渠足够 狭窄).我们考虑的近似面积为:o(-g)(x),P,)∑(-g)()Ax 现有“困惑”(称为阿基米德的困惑),当c1∈[x-1,x](最多属于一个闭子区间,对此 S=(f-8)(5)Ax (-g)(5)△x≠0a5≠c1 从近似角度而言,对于含有水渠的闭子区间,是否计及其面积“似乎”对近似值的影响很大? 对此“困惑”,在极限观点下得以解决:对于含有水渠的闭子区间,是否计及其面积都有 相同的极限值。对此,我们归纳如下的数学性质 f(x)∈R{a小,f()=J∫(x)ax≠x,则有:彐imo(,P,5)=f(x)a 分析 首先,由于f(x)∈R[ab],故∫(x)在[ab]上有界,由此易见f(x)在[a,b]上有界。 然后,估计 (P:)-(x)a(,P:)a(,P)+(,)-(x)a 由于:f(x)∈R[ab],即有(按部分和极限的 Cauchy叙述 对VE>0,三6>0,成立:(P,5)-()<E,lP<6 估计:设x∈[x-,x ↑此处仅考虑了一个间断点,有限个间断点情况,可以逐个考虑或直接进行估计 第4页共6页教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 4 页 共 6 页 2. 有限个离散点上的改变不影响 Riemann 积分。 x y o a 1 b c j c l c 水 渠 j 1 x  j x f x   g x   现需计算上述土地的面积，因灌溉之需在某些位置c jl j 1   上开有水渠（设水渠足够 狭窄）。我们考虑的近似面积为：         1 , , N i i i   f gxP f g x       。 现有“困惑”（称为阿基米德的困惑），当c xx j kk  1, （最多属于一个闭子区间），对此       0 : 0 k k kj k kk k j f g x as c S fg x as c                  从近似角度而言，对于含有水渠的闭子区间，是否计及其面积“似乎”对近似值的影响很大？ ——对此“困惑”，在极限观点下得以解决：对于含有水渠的闭子区间，是否计及其面积都有 相同的极限值。对此，我们归纳如下的数学性质： f   x R ab   , ，     * * * ˆ f x as x x f x C as x x       ，则有：     0 ˆ lim , , b P a   f P f x dx     † 分析： 首先，由于 f   x R ab   , ，故 f  x 在a b, 上有界，由此易见   ˆ f x 在a b, 上有界。 然后，估计            ˆ ˆ ,, ,, ,, ,, b b a a        f P f x dx f P f P f P f x dx       由于： f   x R ab   , ，即有（按部分和极限的 Cauchy 叙述）： 对   0 ， 0     ，成立：    , , b a  f P f x dx      ， P     估计：设 x* 1  x x k k  ,  † 此处仅考虑了一个间断点，有限个间断点情况，可以逐个考虑或直接进行估计