教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 Y>03020,立:(,P)-(,<6,p<6 可证明, Cauchy收敛原理等价于 Cauchy叙述以及 Heine叙述。 定理 彐ima(,P5)=S∈R等价于 Cauchy收敛原理 分析 当已有 Cauchy收敛原理,亦即 v>0.38>0,成立:{()-(,,<6叫叫<6 则有 对vP|→0,有可(,P,)→S,a(/,P,)→S,以下证:S 考虑 S2k, as n=2k SkI,as n=2k- 则有:a(f,Pn,5n)→>S, 进一步有:o(f,15x=)→S=5,叫(,B15=)→S=S 上述结论说明: 对y→0,有(,p5)→§,S不依赖于选取 对vP|→0.有(,5)→S,S不依赖于选取,以下证:S=S 考虑 P2 P k, n=2k 易见|P|→0,故有σ(f,Pn,5n)→S,S不依赖于选取 k-l,as n=2k-1 进一步考虑到:(,P=5x)→S=S,O(,P=B5-)→S=S。即得证 综上,我们可以 Cauchy叙述, Heine叙述以及 Cauchy收敛原理理解部分和极限,亦即 Riemann可积性 ③ Riemann积分的基本分析性质 有界性是 Rieman可积的必要性条件,但非充分 f(x)∈R[ab],则有f(x)在[a]上有界 第3页共6页教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 3 页 共 6 页 0, 0       ，成立：     ˆ ˆ ˆ  fP fP P P , , , , , ,           可证明，Cauchy 收敛原理等价于 Cauchy 叙述以及 Heine 叙述。 定理：   0 lim , , P   fP S    等价于 Cauchy 收敛原理 分析： 当已有 Cauchy 收敛原理，亦即： 0, 0       ，成立：     ˆ ˆ ˆ  fP fP P P , , , , , ,           则有： 对 0   Pn ，有     ˆ ˆ ,, ,, nn nn   f P S fP S     ， ，以下证： ˆ S S  。 考虑： 2 2 1 , 2 : ˆ , 2 1 k n k as n k as n k             则有：   , , n n   f P S  ， 进一步有：   22 2 , , kk k   f P SS      ，  21 21 21  ˆ ˆ , , kk k   f P SS      。 上述结论说明：   P fP S n nn 0, , ,     对 有    ，S  不依赖于选取；   ˆ ˆ ˆ 0, , , 对 有   P fP S n nn   ， ˆ S 不依赖于选取。以下证： ˆ S S  考虑： 2 2 1 , 2 : ˆ , 2 1 k n k P as n k P P as n k          ，易见 故有 P fP S n nn   0, , ,     ， S 不依赖于选取。 进一步考虑到：   2 22 , , k kk   f P P SS     ，  21 21 21  ˆ ˆ , , k kk   f P P SS      。即得证。 综上，我们可以 Cauchy 叙述，Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理理解部分和极限，亦即 Riemann 可积性。 ③ Riemann 积分的基本分析性质 1. 有界性是 Riemann 可积的必要性条件，但非充分。 f   x R ab   ,  ,则有 f  x 在a b, 上有界