教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 求和。累加各块近似值,我们有:σ R2() P,5∑S=22 ∑1R2(),△,称为部分和 至此,我们提供部分和。「R() P,作为原曲边扇形的面积 4.求极限。类比于数列极限的引入,我们希望,定义在,0]上的函数2(Q),具有行为 彐S∈R。对E>0,彐δ>0,成立 R2().p, S<8,Vp<8 上述行为不受限于相对P的选取,亦即对于任意的选取都成立上述行为。 如果上述行为成立,则表明:当分割的模足够小,部分和(不受限于选取)将趋近一个 固定的数。我们希望将此固定的数作为对曲边扇形真实面积的计算 需指出,上述“分割→选取→求和→求极限”的数学建模过程适用于诸多数学及非数学 的研究与应用情形,如计算曲线的长度(弧长),旋成体的侧面积,做功等等。这些,构成了 Riemann积分定义的实际来源。 ② Riemann积分的定义 对∫(x)[ab]x比f(x)∈R,具有如下行为 ◇ Cauchy叙述 S∈R。对vE>0,36>0,成立:同((x),P,)-S<E,VP< Heine叙述 彐S∈R。对v{P}灬,||→0,成立:σ(f(x),Pn,n)→S,V|P<。 此处{5n}n=N为相对于分割族{P}nN的任意的选取族 类比于函数极限的 Cauchy叙述以及 Heine叙述,可证明二者等价。由此,函数∫(x)在 闭区间上的部分和极限,记为:彐脚(,P5)=S∈R,理解为 Cauchy叙述或者 Heine叙述 进一步,我们可以引入: ◇ Cauchy收敛原理 对选取不作说明,则指选取可以任意。以下同 第2页共6页教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 2 页 共 6 页 3. 求和。累加各块近似值，我们有：     2 2 1 1 1 , , 2 2 N N i ii i i R PSR                   ，称为部分和。 至此，我们提供部分和   2 , , 2 R P          作为原曲边扇形的面积。 4. 求极限。类比于数列极限的引入，我们希望，定义在 a b ,  上的函数   2 2 R  ，具有行为：  S  。对   0 ， 0     ，成立：   2 , , 2 R P S             ， P     上述行为不受限于相对 P 的选取 ，亦即对于任意的选取都成立上述行为。 如果上述行为成立，则表明：当分割的模足够小，部分和（不受限于选取）将趋近一个 固定的数。我们希望将此固定的数作为对曲边扇形真实面积的计算。 需指出，上述“分割→选取→求和→求极限”的数学建模过程适用于诸多数学及非数学 的研究与应用情形，如计算曲线的长度（弧长），旋成体的侧面积，做功等等。这些，构成了 Riemann 积分定义的实际来源。 ② Riemann 积分的定义 对 f x ab x f x  : ,         ，具有如下行为：  Cauchy 叙述  S  。对   0 ， 0     ，成立* ：   fx P S  , ,     ， P      Heine 叙述  S  。对  nn P    ， 0 Pn  ，成立：   f  xP S , , n n   ， P     。 此处 n n    为相对于分割族 n n P  的任意的选取族。 类比于函数极限的 Cauchy 叙述以及 Heine 叙述，可证明二者等价。由此，函数 f  x 在 闭区间a b, 上的部分和极限，记为：   0 lim , , P   fP S      ，理解为 Cauchy 叙述或者 Heine 叙述。 进一步，我们可以引入：  Cauchy 收敛原理 * 对选取不作说明，则指选取可以任意。以下同