银川能源学院《高签激学》救案 第五童定积分 一点ξ，使得 fx达=f5Xb-a) 证明：因x)连续，故它的原函数存在，设为Fx),即在[a,b]上F'(x)=x) 成立。根据牛顿一莱布尼茨公式，有 f(xyds=F(6)-F(a) 又函数Fx)在闭区间[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，因此按拉格朗日 中值定理，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得 Fb)-F(a)=F'(5b-a),5∈(a,b) 故得 fx=f5Xb-a.5ea,b创 例8.设fx)在[0，+o)内连续且x)>0.证明函数Fx)= (d 6fud 在(0，+o)内为单调增加函数. 证明：&0i=,云0d=f.故 Fo-feofroof (6f0d2 6fd2 按假设，当0<1<x时f()>0,(x-f()少0，所以 f(di>0,(x-fdt>0, 从而F'(x)>0(>0),这就证明了F(x)在(0，+o)内为单调增加函数. 例9.证明：函数F(x)=∫edh在(-o,+∞)内单调递增。 证明：由于函数在连续，故F(x)在(-0，+o)可导。由公式 Φ)=&0h=(asrb,得 F'(x)=e2>0 因此F(x)在(-o,+o)内单调递增。 例10.求mch 解：这是一个零比零型未定式，由罗必达法则， lim x-0 →0 x2 X→0 2x 2e 提示：设x)=ed,则(cosx=ed. 第13页银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 13 页 一点 ξ ，使得 ( ) ( )( ) b a f x dx f b a     证明：因 f(x)连续，故它的原函数存在，设为 F(x)，即在[a,b]上 F · (x) = f(x) 成立。根据牛顿—莱布尼茨公式，有 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a    又函数 F(x)在闭区间[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，因此按拉格朗日 中值定理，在开区间(a,b)内至少存在一点 ξ ，使得 F b F a F b a a b ( ) ( ) ( )( ), ( , )        故得 ( ) ( )( ), ( , ) b a f x dx f b a a b       例 8. 设 f(x)在[0, )内连续且 f(x)>0 证明函数    x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0 )内为单调增加函数 证明 ( ) ( ) 0 tf t dt xf x dx d x    ( ) ( ) 0 f t dt f x dx d x    故 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )     x x f t dt f x x t f t dt  按假设 当 0tx 时 f (t)>0 (xt)f (t) 0  所以 ( ) 0 0   f t dt x  ( ) ( ) 0 0    x t f t dt x  从而 F (x)>0 (x>0) 这就证明了 F (x) 在(0 )内为单调增加函数 例 9．证明：函数 2 0 ( ) x t F x e dt   在(- )内单调递增。 证明：由于函数在连续，故 F (x)在(- )可导。由公式 (x) f (t)dt f (x) dx d x a    (ax<b)，得 2 ( ) 0 x F x e    因此 F (x)在(- )内单调递增。 例 10. 求 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x     解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则 x e xe x e dt x e dt x x x t x x t x 2 1 2 sin lim lim lim 2 2 2 cos 0 2 cos 1 0 2 1 cos 0             提示 设     x t x e dt 1 2 ( )  则     x t x e dt cos 1 2 (cos ) 