银川能源学院《高签激学》救案 第五童定积分 r=r%=-号03=号 例2计算奔 解由于arctan x是子的一个原函数，所以 奈-ct-5-am-)=号（孕-径。 例3.计算是. 解：是k=mlx=inl-ln2=-ln2 例4.计算1=+cos2xdk 解：1=V1+cos2xdk=∫V2 cosxd=V21 lcos =Vf后cosxd-cos.xex-2 sinx刘-2sin灯 =√2+√2=25 注意：求不定积分时，通常未指明积分变量的变化范围，因此一般默认 √Osx=cosx。计算定积分时，积分变量的变化范围就是积分区间，如果默 认就会得出错误的结论。 例5.计算正弦曲线=snx在[0，π上与x轴所围成的平面图形的面积. 解：这图形是曲边梯形的一个特例.它的面积 A=sin xdx=-cosx5=-(-1)H(-1)=2。 例6.汽车以每小时36km速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等加 速度a=-5m/s2刹车.问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ 解从开始刹车到停车所需的时间： 当=0时，汽车速度 o=36km/h=36x1000m/s=10ms. 3600 刹车后1时刻汽车的速度为 (t=vo+at=10-5t. 当汽车停止时，速度()=0，从 v(t)=10-51=0 得，仁2(s). 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为 s=0dh=10-5h=[l0i-5t26=10(m), 即在刹车后，汽车需走过10m才能停住 例7.设函数x)在闭区间[a,b]上连续，证明：在开区间(a,b)内至少存在 第12页银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 12 页 3 1 0 3 1 1 3 1 ] 3 1 [ 1 3 3 0 3 1 0 2        x dx x  例 2 计算 2 3 1 1 x dx    解 由于 arctan x 是 2 1 1 x 的一个原函数 所以 3 2 1 3 1 [arctan ] 1      x x dx arctan 3arctan(1)    12 7 ) 4 ( 3      例 3. 计算    1 2 1 dx x  解 1 2 1 2 [ln| |] 1       dx x x ln 1ln 2ln 2 例 4. 计算 0 I xdx 1 cos2     . 解： 2 0 0 0 I xdx xdx x dx 1 cos2 = 2cos 2 cos          2 2 0 0 2 2 2 cos 2 cos 2[sin ] 2[sin ] 2 2 2 2 xdx xdx x x                注意：求不定积分时，通常未指明积分变量的变化范围，因此一般默认 2 cos =cos x x 。计算定积分时，积分变量的变化范围就是积分区间，如果默 认就会得出错误的结论。 例 5. 计算正弦曲线 ysin x 在[0 ]上与 x 轴所围成的平面图形的面积 解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积   0 0 A sin xdx[cosx]  (1)(1)2 例 6. 汽车以每小时 36km 速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加 速度 a5m/s2 刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离？ 解 从开始刹车到停车所需的时间 当 t0 时 汽车速度 v036km/h 3600 361000  m/s10m/s 刹车后 t 时刻汽车的速度为 v(t)v0at 105t  当汽车停止时 速度 v(t)0 从 v(t)105t 0 得 t2(s) 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为 s v(t)dt (10 5t)dt 2 0 2 0      ] 10 2 1 [10 5 2 0 2  t  t  (m) 即在刹车后 汽车需走过 10m 才能停住 例 7.设函数 f(x)在闭区间[a, b]上连续，证明：在开区间(a, b)内至少存在