银川能源学院《高签激学》救未 第五童定积分 若x=Q,取△>0，则同理可证①，'(x)上a;若x=b,取△<0，则同理可证 Φ'(x)=b), 定理2如果函数x)在区间[a,b]上连续，则函数 D(x)=f(x)dx 就是fx)在[a,b]上的一个原函数. 定理的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面 初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系， 三、牛顿—莱布尼茨公式 定理3如果函数F(x)是连续函数x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 f(xdx=F(b)-F(a). 此公式称为牛顿-一莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式： 这是因为Fx)和(x)上o)h都是x)的原函数， 所以存在常数C,使 Fx)一D(x)=C(C为某一常数). 由F(a)-D(a)=C及Φ(a)=O,得C=F(a,Fx)-D(x)=Fa). 由Fb)-D(b)=F(a,得Φ(b)=Fb)-F(a,即 f(ds-F()-F(a. 证明：已知函数F(x)是连续函数x)的一个原函数，又根据定理2，积分 上限函数 (x)上Cfd 也是x)的一个原函数.于是有一常数C,使 Fx)-D(x)=C(a≤r≤b). 当x=a时，有F(a-D(aC,而(a)=O,所以C-=F(a;当=b时， Fb)-Φ(b)=F(a, 所以Φ(b)=F(b)-F(a,即 f(xydx=F(b)-F(a). 为了方便起见，可把F(b-F(a)记成[F(x)治，于是 [f(x)dx=IF(x)E=F(b)-F(a). 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 例1.计算6x2dk. 解：由于x是x2的一个原函数，所以 第11页银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 11 页 若 xa  取x>0 则同理可证(x) f(a) 若 xb  取x<0 则同理可证 (x) f(b) 定理 2 如果函数 f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x) f x dx x a ( )   就是 f (x)在[a b]上的一个原函数 定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面 初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 三、牛顿莱布尼茨公式 定理 3 如果函数 F (x)是连续函数 f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则 f (x)dx F(b) F(a) b a     此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式 这是因为 F(x)和(x) f t dt x a ( )  都是 f(x)的原函数 所以存在常数 C 使 F(x)(x)C (C 为某一常数) 由 F(a)(a)C 及(a)0 得 CF(a) F(x)(x)F(a) 由 F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即 f (x)dx F(b) F(a) b a     证明 已知函数 F(x) 是连续函数 f(x) 的一个原函数 又根据定理 2 积分 上限函数 (x) f t dt x a ( )  也是 f(x)的一个原函数 于是有一常数 C 使 F(x)(x)C (axb) 当 xa 时  有 F(a)(a)C 而 (a)0 所 以 CF(a) 当 xb 时  F(b)(b)F(a) 所以(b)F(b)F(a) 即 f (x)dx F(b) F(a) b a     为了方便起见 可把 F(b)F(a)记成 b a [F(x)]  于是 f (x)dx [F(x)] F(b) F(a) b a b a      进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 例 1. 计算  1 0 2 x dx  解 由于 3 3 1 x 是 2 x 的一个原函数 所以