银川能源学院《高签激学》救案 第五童定积分 第三节微积分基本公式 在第一节中，已经举过应用定积分定义计算定积分的例子，从实际例子可 以看到，用定积分定义计算定积分，一般来说，计算复杂，难度较大。因此， 必须寻找一种简单易行的计算定积分的新方法。 下面先从实际问题中寻找解决问题的线索。为此，对变速直线运动中的位 置函数s()和速度函数v)之间的联系作进一步的研究。 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动，在1时刻所经过的路程为S),速度为 =W)=S()(()≥0)，则在时间间隔[T,T2]内物体所经过的路程S可表示为 ST)-sT)及0d, 即 di=S()-S(). 上式表明，速度函数v0)在区间[T1,T]上的定积分等于v()的原函数S()在 区间[T,T]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.我们把函数x) 在部分区间[a,y上的定积分fx女，称为积分上限的函数.它是区间[a,1上 的函数，记为x)=fx,或(x)上fh. 定理1如果函数x)在区间[a,b]上连续，则函数 D(x)=["f(x)dx 在[a,b]上具有导数，并且它的导数为 )=&/0d=fe(a≤rb 简要证明： 若x∈(a,b),取△x使x+△r∈(a,b), △d=D(x+Ax-Φ(x)=+afo)dh-Cf0d y=f(x) -fd+d-ffd -f(di=f)x, o(x) 应用积分中值定理，有△Φ=∫()△x, aX5x+△xb 其中在x与x+△x之间，△x0时，5x.于是 099: Φ'(x)=lim 21 第10页银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 10 页 第三节 微积分基本公式 在第一节中，已经举过应用定积分定义计算定积分的例子，从实际例子可 以看到，用定积分定义计算定积分，一般来说，计算复杂，难度较大。因此， 必须寻找一种简单易行的计算定积分的新方法。 下面先从实际问题中寻找解决问题的线索。为此，对变速直线运动中的位 置函数 s(t)和速度函数 v(t)之间的联系作进一步的研究。 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动 在 t 时刻所经过的路程为 S(t) 速度为 vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程 S 可表示为 ( ) ( ) S T2 S T1 及 v t dt T T ( ) 2 1   即 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 v t dt S T S T T T     上式表明 速度函数 v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于 v(t)的原函数 S(t)在 区间[T1 T2]上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数 f(x)在区间[a b]上连续 并且设 x 为[a b]上的一点 我们把函数 f(x) 在部分区间[a x]上的定积分 f x dx x a ( )  ,称为积分上限的函数 它是区间[a b]上 的函数 记为 (x) f x dx x a ( )    或(x) f t dt x a ( )   定理 1 如果函数 f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x) f x dx x a ( )   在[a b]上具有导数 并且它的导数为 (x) f (t)dt f (x) dx d x a    (ax<b) 简要证明: 若 x(a b) 取x 使 xx(a b) (xx)(x) f t dt f t dt x a x x a ( ) ( )      f t dt f t dt f t dt x a x x x x a ( ) ( ) ( )        f t dt f x x x x     ( ) ()  应用积分中值定理 有f ()x 其中在 x 与 xx 之间 x0 时 x  于是 (x) lim lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 f f f x x x x x                ( ) x x x x  b a  y f x  ( ) y O x