第二章多元函数微分学 在R中,开区间(a,b)的所有聚点构成的集合是闭区间{a,b];若用 Q表示R中所有有理点构成的集合,则每个实数都是Q的聚点 在R中,任意闭区间[a,b都是闭集在R2中,任意闭圆盘 {P∈R2:d(P,P0)≤6.}(6>0)都是闭集.在R中,任意闭球 {P∈R3:d(P,P0)≤6}(a>0)都是闭集 (四)开集与闭集的性质 (1)在度量空间X中,X本身作为空间X的一个子集,既是开集,又是闭 空集作为空间X的一个子集,既是开集,又是闭集. (2)在度量空间X中,任意开集的余集是闭集;任意闭集的余集是开集 (3)任意多个开集的并是开集;有限多个闭集的并是闭集 (4)任意多个闭集的交是闭集;有限多个开集的交是开集。 2-1-1-3集合的紧致性、完备性与连通性 (一)完备性 Cauchy序列定义:(Pm)是度量空间X中的点列,若对于任意事先给定 的正数E,都能够找到自然数N,使得所有满足m>N、k>N的自 然数m,k,都有d(Pm,Pk)<E 完备空间:若度量空间X中任何 Cauchy列都存在极限,称为X具有完 备性( completeness),或完备空间 可类似定义完备集。 例:R"是完备的 (二)紧致性 开覆盖定义:{O2∈A}是度量空间x中的一簇开集,S是X中的 个子集。,若∪O1S,则称{1∈A}是S的一个开覆盖。 紧致集定义:S是度量空间X中的一个子集,若S的任何开覆盖,必有 有限的开覆盖,则称S是紧致集 R"的紧致性:在R"中以下三条等价: (1)S是R”中的紧致集 2)S是有界闭集 3)S中任何无穷有界集必有聚点(列紧性)。 (三)连通性,考虑R2(或R) 第一节多元函数第二章 多元函数微分学 第一节 多元函数 4 在 R 1 中, 开区间 (a,b) 的所有聚点构成的集合是闭区间 [a,b] ;若用 Q 表示 R 1 中所有有理点构成的集合,则每个实数都是 Q 的聚点. 在 R 1 中,任意闭区间 [a,b] 都是闭集.在 2 R 中,任意闭圆盘 { : ( , ) .}( 0) 0 2 P  R d P P     都是闭集. 在 R 3 中,任意闭球 { : ( , ) .}( 0) 0 3 P  R d P P     都是闭集. (四) 开集与闭集的性质 (1)在度量空间 X 中, X 本身作为空间 X 的一个子集,既是开集,又是闭 集. 空集作为空间 X 的一个子集,既是开集,又是闭集. (2)在度量空间 X 中,任意开集的余集是闭集; 任意闭集的余集是开集. (3)任意多个开集的并是开集；有限多个闭集的并是闭集。 (4) 任意多个闭集的交是闭集；有限多个开集的交是开集。 2-1-1-3 集合的紧致性、完备性与连通性 (一) 完备性 ⚫ Cauchy 序列定义: (Pm) 是度量空间 X 中的点列, 若对于任意事先给定 的正数  ，都能够找到自然数 N ，使得所有满足 m  N 、 k  N 的自 然数 m, k ，都有 ( , )   d Pm Pk . ⚫ 完备空间: 若度量空间 X 中任何 Cauchy 列都存在极限，称为 X 具有完 备性(completeness), 或完备空间。 ⚫ 可类似定义完备集。 例： n R 是完备的。 (二) 紧致性 ⚫ 开覆盖定义: O   是度量空间 X 中的一簇开集， S 是 X 中的一 个子集。, 若  O  S    , 则称 O   是 S 的一个开覆盖。 ⚫ 紧致集定义: S 是度量空间 X 中的一个子集,若 S 的任何开覆盖, 必有 有限的开覆盖，则称 S 是紧致集。 ⚫ n R 的紧致性：在 n R 中以下三条等价： (1) S 是 n R 中的紧致集: (2) S 是有界闭集; (3) S 中任何无穷有界集必有聚点(列紧性)。 (三) 连通性, 考虑 2 R (或 R 3 )