第二章多元函数微分学 在(R,d)中,U(P)是以点P为中心,以δ为半径的开球 (二)内点与开集 内点与开集的定义设G是X中的一个子集,P0是G中一点, 如果存在某个U(P0)(6>0),使得U(P0)G,则称Po是G的 个内点( Inner point) 如果一个集合G的所有的点都是它的内点,就称这个集合是开集 open set 内部的定义设G是X中的一个子集,G中所有内点构成的集合, 称为G的内部,记作C 例在R中,任意开区间(a,b)(有界或者无界)是开集 证明当(a,b)是有界区间时,对于(a,b)中的任意一点x,必有 a<x<b.令d=min{x-a,b-x},这是一个正数,并且有 U(x)=(x-,x+6)c(a,b).这说明x是(a,b)的一个内点,由x的 任意性知(a,b)中所有的点都是它的内点,因而(a,b)是开集 当(a,b)是无界区间时,请读者自己证明(a,b)是开集 例在R2中,集合{x,y)|x>0,y>0}是开集 般情形,平面上由几条连续曲线围成的图形内部所有的点组成的 集合是开集. 在R3中,由几张连续曲面围成的图形内部所有的点组成的集合是开 在R1,R2,R3和R"中,空集是开集,空间本身也是开集 (三)豪点与闭集 聚点的定义设G是X中的一个子集,P0是X中一点,如果对任何 U6(P)(6>0),在U6(P0)中至少有一个异于P0的G中的点则称 Po是G的一个聚点( accumulation point) 如果一个集合G包含它的所有的聚点,就称这个集合是闭集 闭包的定义设G是X中的一个子集,G中所有聚点构成的集合, 称为G的闭包,记作G 例在R中,任意开区间[a,b](有界或者无界)是闭集 第一节多元函数第二章 多元函数微分学 第一节 多元函数 3 在 ( ) 2 3 R ,d 中, ( ) U P0 是以点 P0 为中心,以  为半径的开球. (二) 内点与开集 内点与开集的定义 设 G 是 X 中的一个子集, P0 是 G 中一点, 如果存在某个 ( ) U P0 (  0) ,使得 U (P0 )  G ,则称 P0 是 G 的一 个内点( inner point ); 如果一个集合 G 的所有的点都是它的内点,就称这个集合是开集 ( open set ). 内部的定义 设 G 是 X 中的一个子集, G 中所有内点构成的集合, 称为 G 的内部, 记作 0 G 。 例 在 R 1 中,任意开区间 (a,b) (有界或者无界)是开集. 证明 当 (a,b) 是有界区间时,对于 (a,b) 中的任意一点 x ,必有 a  x  b.令  = min{x −a,b − x},这是一个正数,并且有 U (x) = (x − , x + )  (a,b)  .这说明 x 是 (a, b) 的一个内点,由 x 的 任意性知 (a, b) 中所有的点都是它的内点,因而 (a,b) 是开集. 当 (a,b) 是无界区间时,请读者自己证明 (a,b) 是开集. 例 在 2 R 中,集合 {( x, y) | x  0, y  0} 是开集. 一般情形,平面上由几条连续曲线围成的图形内部所有的点组成的 集合是开集. 在 R 3 中,由几张连续曲面围成的图形内部所有的点组成的集合是开 集. 在 R 1 , 2 R , R 3 和 R n 中,空集是开集,空间本身也是开集. (三) 聚点与闭集 聚点的定义 设 G 是 X 中的一个子集, P0 是 X 中一点, 如果对任何 ( ) U P0 (  0) ,在 ( ) U P0 中至少有一个异于 P0 的 G 中的点.则称 P0 是 G 的一个聚点(accumulation point). 如果一个集合 G 包含它的所有的聚点,就称这个集合是闭集 (closed set). 闭包的定义 设 G 是 X 中的一个子集, G 中所有聚点构成的集合, 称为 G 的闭包, 记作 G 。 例 在 R 1 中,任意开区间 [a,b] (有界或者无界)是闭集