第二章多元函数微分学 d1(x,y)=∑-y d(xy)=∑(x-y) max dA(x,y)=xAy,A为正定矩阵 例三,在闭区间上的连续函数空间6:,∈C6距离函数的定义 (xy)=y()-g( 例三,在闭区间上的可积函数空间a小:切g∈Fab距离函数的定义 d(r,y)=f(x)-g()dx 以上各例中不同的距离定义确定了不同的度量空间,在其性质检验中,主 要是对三角不等式的证明,请读者自证:在例三中对两函数相等的理解要作扩 充才行 2-1-1-2邻域、开集与闭集 设X是一度量空间,其度量为d (一)邻域在P∈X,对任何δ>0,集合 ∈X:d(x,p)< 称X中点P的一个邻域,记成U(p) 今后如果说到“在P及其附近”,就是指这样的某个U(P0) 如果说到“在P0的附近”,则指在这样的某个集合U(P0)中除掉Po本 身之后剩下的点构成的集合,这是一个空心的集合 在(Rl,d)=12,∞中,U(x)都是以x0为中心,长度等于 26的开区间(x0-6,x0+6) 在(R2d2)中,U(P0)是以点Po为中心,以δ为半径的开圆 盘:在(R2,d1)中,U(P)是以点P0为中心,以26为对角线长的菱 形盘:在(R2,d)中,U(P是以点P0为中心,以26为边长的正方 形盘 第一节多元函数第二章 多元函数微分学 第一节 多元函数 2 ⚫ ( ) = = − n i i i d x y x y 1 1 , ; ⚫ ( ) ( ) = = − n i i i d x y x y 1 2 2 , ⚫ ( ) i i i n d x y = Max x − y    1 , ⚫ d (x y) x A y T A , = , A 为正定矩阵 例二，在闭区间上的连续函数空间 Ca,b：f , g Ca,b,距离函数的定义: ( )   d x y Max f (x) g(x) x a b = −  , , 例三，在闭区间上的可积函数空间 Ra,b：f , g Ra,b,距离函数的定义: ( ) ( ( ) ( ))  = − b a d x y f x g x dx 2 , 以上各例中不同的距离定义确定了不同的度量空间，在其性质检验中，主 要是对三角不等式的证明，请读者自证；在例三中对两函数相等的理解要作扩 充才行。 2-1-1-2 邻域、开集与闭集 设 X 是一度量空间，其度量为 d 。 （一）邻域 在 p  X , 对任何   0 ,集合 {x  X : d(x, p)  .} 称 X 中点 p 的一个邻域, 记成 U (p)  . 今后如果说到“在 P0 及其附近”，就是指这样的某个 ( ) U P0 ； 如果说到“在 P0 的附近”，则指在这样的某个集合 ( ) U P0 中除掉 P0 本 身之后剩下的点构成的集合，这是一个空心的集合. 在 ( , ), = 1,2, 1 R d i i 中, ( ) U x0 都是以 0 x 为中心,长度等于 2 的开区间 ( , ) x 0− x 0+ . 在 ( ) 2 2 R ,d 中, ( ) U P0 是以点 P0 为中心,以  为半径的开圆 盘； 在 ( ) 1 2 R ,d 中, ( ) U P0 是以点 P0 为中心,以 2 为对角线长的菱 形盘；在 ( ) R d , 2 中, ( ) U P0 是以点 P0 为中心,以 2 为边长的正方 形盘