这些特征函数在L2空间构成完全集 当E≠0时,特征值λ=0保持不动(不 bifurcate)。然而 internal modes可以从连续谱的 边缘i=+B处分离出来(见图)。下面我们计算在何种条件下 internal modes可以产生,并 计算其解析表达式 为此计算,我们需要定义内积。与 Pelinovsky et al, Physica D,1998不同的是,我们定义 如下内积 )=Fo, Ga 这里上标“+”代表Huma=(1“小·此内积的好处在于,在此内积定义下, 算子L0)为自伴算子。容易验证C的特征函数非零内积为 (35) (36) (y(x),y(x)=(y-(x,k,y(xk)=4x(k-k)(37) 现在,我们将方程(22)的特征函数Y在O算子的特征函数集上做展开 r()=aa+a(ka)(x61k+∑[()1+B()] (38) 当我们把展开式(38代入到方程(2)去,并利用以上的内积关系,我们可以得到a2(k,E) 的如下积分方程 (F/)*(R4r l ki (k, k)*(,)+K*(k, k)a(k,)ldk +∑[an(y(xC4()+A((x02"(x)]() 这里 入k=B+k Ki(, k)=(r(x, k),ty*(r; k)) 5(k.4)=(y(x,k)Cy(xk) 引入定义 a(k)=(干)a2(k)(42)这些特征函数在 L2 空间构成完全集。 当ε ≠ 0时，特征值λ = 0 保持不动（不 bifurcate）。然而 internal modes 可以从连续谱的 边缘iλ = ±iβ 处分离出来（见图）。下面我们计算在何种条件下 internal modes 可以产生，并 计算其解析表达式。 为此计算，我们需要定义内积。与 Pelinovsky et al, Physica D, 1998 不同的是，我们定义 如下内积： † 1 F x( ),G(x) F σ Gdx (34) ∞ −∞ ≡ ∫ 这里上标“ ”代表 Hermitian， 。此内积的好处在于，在此内积定义下， 算子 † 1 1 1 σ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠⎟ (0) L 为自伴算子。容易验证 (0) L 的特征函数非零内积为 1 1 1 1 , , Y Y d a = = Ya Yd β (35) 2 2 2 2 1 2 , , (36) Y Y d a Ya Yd β − = = − Y ( ; x k),Y ( ; x k ) Y (x; k),Y (x k; ) 4πδ (k k ) (37) + + − − ′ ′ = = − ′ 现在，我们将方程(22)的特征函数 Y 在 (0) L 算子的特征函数集上做展开 2 1 ( ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ) (38) n n n d n a n Y x α ε k Y x k α ε k Y x k dk α ε Y β ε Y ∞ + + − − −∞ = = + ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ + ∫ ⎣ ⎦ ∑⎣ ⎦ 当我们把展开式(38)代入到方程(22)去，并利用以上的内积关系，我们可以得到α ( ; k ε ) ± 的如下积分方程： 1 2 2 (1) (1) 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 4 ( ; ), ( ) ( ; ), ( ) (39) 4 n n k n d n a n k K k k k K k k k dk Y x k L Y x Y x k L Y x ε λ λ α α α π ε α β π ∞ ± ± + ± − −∞ ± ± = = + ⎡ ⎤ ′ ′ ′ ′ ′ ⎣ ⎦ + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∑ ∓ 这里 2 (1) 1 (1) 2 ( , ) ( , ), ( ; ) (40) ( , ) ( ; ), ( ; ) (41) k k K k k Y x k L Y x k K k k Y x k L Y x k λ β ± ± + ± ± − = + ′ ′ = ′ ′ = 引入定义 ( ) ( ) ( ) (42) k a k λ λ α k ± ± = ∓