·60. 智能系统学报 第2卷 1+ d16x)+d16L (1+9)(1+)=1+号+6+99=1+9⊙9. (4(x)+d((以) 至此定理得证 1+GL+专GL< d(4(x)+0(s(以) 3广义肯定前提式与广义否定后件式 1+max{,5}. 的统计敏感性分析 至此，定理得证 3.1广义肯定前提式的统计敏感性分析 定理3当Zadeh蕴涵算子应用于模糊规则上 模糊推理的通常形式是广义肯定前提式，它可 F Xis A,THEN Y is B时，即 表述如下： I(A,B)=AU(A∩B)或者凸(x,以= 前件：IF Xis A,THEN Y is B, max(1-(x)min((x)(y))). 事实：XisC, 若A=(9)A,B'=(5)B则有 后件：YisD. I(A'.B)=(max)1(A,B) 其中X和y是语义变量，A与C是论域U上 证明由引理2可得，T=(6)工又由引理1 的模糊集，B与D是论域V上的模糊集，通常D规 与引理3可得， 定如下： TUA'∩B)= 4(=s1(c(xW,4-(x,以)，y∈V (max!6,max(nB) 式中：（表示1为模算子，→表示一个蕴涵算子 (max)(A nB) 这里将给出几种特定的连接与蕴涵算子下的广义 则此定理得证 肯定前提式的统计敏感性， 定理41)当Mamdani min蕴涵算子应用于模 定理6当广义肯定前提式中使用min连接与 糊规则IF Xis A,THEN Y is B上时，即 Dines-Rescher蕴涵算子时，即 I(A,B)=A∩B」 若A'=(6)A,B'=()B则有 4o()=Bmin((), I(A',B)=(max{6,6})1(A,B). 16) max1-4a(x),(以). (19) 2)若用Mamdani积算子替代Mamdani min算 若A'=()A,B'=(S)B且C'=()C则有 子则式(16)结论变成如下的形式： D'=(max{9,号，s)D. 20) I(A',B)=G©)IA,B 17) 证明从统计学的观点看来，对于·，) 证明上述定理可由引理34直接导出 并不改变其敏感性，则结合前面的结论，显然有 定理5当Reichenbach蕴涵算子应用于模糊 E(D)=E(D),且 规则IF Xis A,THEN Y is B上时，即 d以<1+max(,max5,s》d(h( d边< 0(4(y) I(A.B)=AB. 1+maxs,,5). 若A=(G)A,B=(5)B则有 则定理得证 1A',B)=(6©)1(A,B (18) 与定理6类似，可以轻易地得到如下的定理 证明由于4(x,以=1-4(x+4((y, 定理7对于下面3种情况定理6的结论仍成 A'=(9)A,B'=(6)B,显然可得E(I(A',B))= 立，I)当广义肯定前提式中使用min连接与Liks E(I(A,B)). iewicz蕴涵算子时，2)当广义肯定前提式中使用 又0（凸a.(x,以）=0(1-凸(x)+ min连接与Zadeh蕴涵算子时；3)当广义肯定前提 0(44(x)d(凸s(以)= 式中使用min连接与Mamdani蕴涵算子时 2(4(x)+0(山(x)0(4(y)= 定理8当广义肯定前提式中使用min连接与 0(4(x)+0(4(x)2(a(x)· Mamdani积蕴涵算子时，即 d(4aB2(x,以). Hoy=smin(c(x,4(WHa(以)， 出-出 若A=(G)A,B'=(6)B且C'=G)C则有 1+)1+1+sLL D'=(max{号，6⊙s})D. 21) 1+0(a(y) 证明上述结论可由引理34或定理4直接导 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net1 + σ2 (δA ( x) ) +σ2 (δB ( y) ) σ2 (μA ( x) ) +σ2 (μB ( y) ) < 1 + ε1σ2 (μA ( x) ) +ε2σ2 (μB ( y) ) σ2 (μA ( x) ) +σ2 (μB ( y) ) < 1 + max{ε1 ,ε2 } . 至此 ,定理得证. 定理 3 当 Zadeh 蕴涵算子应用于模糊规则上 IF X is A , T HEN Y is B 时 ,即 I ( A , B) = A ∪( A ∩B) 或者μI ( x , y) = max (1 - μA ( x) ,min (μA ( x) ,μB ( y) ) ) . 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 则有 I( A′, B′) = (max{ε1 ,ε2 }) I ( A , B) . 证明 由引理 2 可得 , A′= (ε1 ) A ,又由引理 1 与引理 3 可得 , A′∪( A′∩B′) = (max{ε1 ,max{ε1 ,ε2 }}) A ∪( A ∩B) = (max{ε1 ,ε2 }) A ∪( A ∩B) . 则此定理得证. 定理 4 1) 当 Mamdani min 蕴涵算子应用于模 糊规则 IF X is A , T HEN Y is B 上时 ,即 I ( A , B) = A ∩B , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 则有 I( A′, B′) = (max{ε1 ,ε2 }) I ( A , B) . (16) 2) 若用 Mamdani 积算子替代 Mamdani min 算 子则式(16) 结论变成如下的形式 : I( A′, B′) = (ε1 ©ε2 ) I ( A , B) . (17) 证明 上述定理可由引理 3、4 直接导出. 定理 5 当 Reichenbach 蕴涵算子应用于模糊 规则 IF X is A , T HEN Y is B 上时 ,即 I ( A , B) = A BŠ, 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 则有 I( A′, B′) = (ε1 ©ε2 ) I ( A , B) . (18) 证明 由于μI ( x , y) = 1 - μA ( x) +μA ( x)μB ( y) , A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B ,显然可得 E( I ( A′, B′) ) = E( I( A , B) ) . 又σ2 (μI( A , B) ( x , y) ) =σ2 ( I - μA ( x) ) + σ2 (μA ( x) )σ2 (μB ( y) ) = σ2 (μA ( x) ) +σ2 (μA ( x) )σ2 (μB ( y) ) = σ2 (μA′( x) ) +σ2 (μA′( x) )σ2 (μB′( x) ) · σ2 (μI( A′, B′) ( x , y) ) . 则 σ2 (μI(A′,B′) ( x , y) ) σ2 (μI(A ,B) ( x , y)) = σ2 (μA′( x)) σ2 (μA ( x)) · 1 +σ2 (μB′( y)) 1 +σ2 (μB ( y)) < (1 +ε1 ) · 1 + (1 +ε2 )σ2 (μB ( y) ) 1 +σ2 (μB ( y) ) < (1 +ε1 ) (1 +ε2 ) = 1 +ε1 +ε2 +ε1ε2 = 1 +ε1 ©ε2 . 至此定理得证. 3 广义肯定前提式与广义否定后件式 的统计敏感性分析 3. 1 广义肯定前提式的统计敏感性分析 模糊推理的通常形式是广义肯定前提式 ,它可 表述如下 : 前件 : IF X is A , T HEN Y is B , 事实 : X is C, 后件 : Y is D. 其中 X 和 Y 是语义变量 , A 与 C 是论域 U 上 的模糊集 , B 与 D 是论域 V 上的模糊集 ,通常 D 规 定如下 : μD ( y) = sup x ∈U t (μC ( x) ,μA →B ( x , y) ) , Πy ∈V . 式中 :t( ·) 表示 t 为模算子 , →表示一个蕴涵算子 , 这里将给出几种特定的 t2连接与蕴涵算子下的广义 肯定前提式的统计敏感性. 定理 6 当广义肯定前提式中使用 min 连接与 Dines2Rescher 蕴涵算子时 ,即 μD ( y) = sup x ∈U min (μC ( x) , max (1 - μA ( x) ,μB ( y) ) ) . (19) 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 且 C′= (ε3 ) C 则有 D′= (max{ε1 ,ε2 ,ε3 }) D. (20) 证明 从统计学的观点看来 ,对于 ·, sup x ∈U ( ·) 并不改变其敏感性 , 则结合前面的结论 , 显然有 E( D′) = E( D) ,且 σ2 (μD′( y)) σ2 (μD ( y) ) < 1 + max(ε3 ,max(ε1 ε, 2 ) ) σ2 (μD′( y) ) σ2 (μD ( y) ) < 1 + max (ε3 ,ε1 ,ε2 ) . 则定理得证. 与定理 6 类似 ,可以轻易地得到如下的定理. 定理 7 对于下面 3 种情况定理 6 的结论仍成 立 ,1) 当广义肯定前提式中使用 min 连接与 Liks2 iewicz 蕴涵算子时 ; 2) 当广义肯定前提式中使用 min 连接与 Zadeh 蕴涵算子时 ;3) 当广义肯定前提 式中使用 min 连接与 Mamdani 蕴涵算子时. 定理 8 当广义肯定前提式中使用 min 连接与 Mamdani 积蕴涵算子时 ,即 μD ( y) = sup x ∈U min (μC ( x) ,μA ( x)μB ( y) ) , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 且 C′= (ε3 ) C 则有 D′= (max{ε3 ,ε1 ©ε2 }) D. (21) 证明 上述结论可由引理 3、4 或定理 4 直接导 · 06 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷