第2期 王士同，等：模糊推理的统计敏感性分析 *61* 出 出 定理9 当广义肯定前提式中使用min连接与 当用积连接或Lukasiewicz连接替代广义肯定 Reichenbach蕴涵算子时，即 前提式中的min连接时，相应的统计敏感性可以使 p(y)supmin(He(x), 用相似的方法求得.一般地，若令A'=(G)A,B'= 1-4a(x),4a(x)·s(以) )B,C=)C,则，6，与e间的关系可归纳 若A=(9)A,B=()B且C'=(S)C则有 如表1所示.由于⊙和max为放大算子，所以在所 D'=(max{s,6回)D (22) 有情况下获得的ε值应是￡，6,6上的放大运算， 证明上述结论可由引理3和引理5直接导 表1结果很好地证实了这一点。 表1广义肯定前提式在使用不同的连接与蕴涵算子时的统计敏感性 Table 1 Statistical sensitivity of generalized modus ponens under various conjunctions and implication operators Dienes Rescher Lukasiewicz Mamdani min Mamdani Reichenbach 连接 Zadeh蕴涵 蕴涵 蕴涵 蕴涵 积蕴涵 蕴涵 min连接 max max{6,5,6} max/6,,与} max. max/6,6,} maxf6,f⊙5} 6+1+)X 5+(1+5)× 积连接 s©maxf6,5} s⊙max{9,5}s⊙maxf9,5}5©max{9,5/ (9⊙9) (6⊙5) Lukasiewicz max{6,6,与}max{9,5,5}max{6,,/max{,6,6} max{5,6⊙9}max{5,6⊙5} 连接 3.2广义否定后件式 糊推理归纳出一个U到W的模糊关系，等价于： 另一个基本的模糊推理形式是广义否定后件 hx,=s(Ha,副(x,》,Aacy,), 式，它可表述如下： x∈U,:∈W. 24) 前件：IF Xis A,THEN Y is B, 其中：1()表示r模算子，1(A,B)与前件条件1相 事实：YisD, 后件：XisC 关，1(B1,G)与前件条件2相关，则可知R仅仅是1 等价于（以=s里o(以，(x,).(23别 (A,B)与1(B1,G)的一个合成.这样便可以用前面 前面分析广义肯定前提式的统计敏感性的方法 同样的方法推导出链接模糊推理在采用不同连接与 同样适用于分析广义否定后件式的统计敏感性，若 蕴涵算子时的统计敏感性，表2中列出了详细的分 交换广义肯定前提式中的C与D,同样令A'= 析结果.从表2中可以明显地看出，链接模糊推理的 ()A,B'=()B,C'=(S)C,则可分析得出广义否 后件部分具有较大的扰动量，由分析知这主要是由 定后件式的统计敏感性相等于广义肯定前提式的统 于max与⊙算子的同时放大作用而产生的.下面以 计敏感性，其在不同情况下的结果同样可以归纳为 一种情况为例，说明如何推导链接模糊推理的统计 表1所示的结果 敏感性.设采用的2算子分别为min连接与Dienes Rescher蕴涵，则有 4链接模糊推理的统计敏感性 H(x)=supmin(max(1((y) 链接模糊推理是人推理机制的另一种基本形 max1-a,(以，e() 25 式，一般地链接模糊推理能够表述成如下的形式： 若令A'=(6)A、B'=(6)B、B1=(6)B且 前件1：IF Xis A,THEN Y is B, C1=()C,同时令R表示U到W的模糊关系，由 前件2：IF Y is B1,THEN Zis C 定理1知： 后件：IF Xis A,THEN Zis C. 式中：X,Y和Z是语义变量，A是论域U上的 I(A',B)=(max{6,6})1A,B), 模糊集，B与B1是论域V上的模糊集，C与C是 I(B/,C0=(max{1,1)1(B1,Ci). 论域W上的模糊集，根据前件条件1与2，链接模 又由引理3，便可得 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net出. 定理 9 当广义肯定前提式中使用 min 连接与 Reichenbach 蕴涵算子时 ,即 μD ( y) = sup x ∈U min (μC ( x) , 1 - μA ( x) ,μA ( x) ·μB ( y) ) . 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 且 C′= (ε3 ) C则有 D′= (max{ε3 ,ε1 ©ε2 }) D. (22) 证明 上述结论可由引理 3 和引理 5 直接导 出. 当用积连接或 Lukasiewicz 连接替代广义肯定 前提式中的 min 连接时 ,相应的统计敏感性可以使 用相似的方法求得. 一般地 ,若令 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B , C′= (ε3 ) C,则ε1 ,ε2 ,ε3 与ε间的关系可归纳 如表 1 所示. 由于 ©和 max 为放大算子 ,所以在所 有情况下获得的ε值应是ε1 ,ε2 ,ε3 上的放大运算 , 表 1 结果很好地证实了这一点. 表 1 广义肯定前提式在使用不同的连接与蕴涵算子时的统计敏感性 Table 1 Statistical sensitivity of generalized modus ponens under various conjunctions and implication operators 连接 Dienes2Rescher 蕴涵 Lukasiewicz 蕴涵 Zadeh 蕴涵 Mamdani min 蕴涵 Mamdani 积蕴涵 Reichenbach 蕴涵 min 连接 max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε3 ,ε1 ©ε2 } 积连接 ε3 ©max{ε1 ,ε2 } ε3 ©max{ε1 ,ε2 } ε3 ©max{ε1 ,ε2 } ε3 ©max{ε1 ,ε2 } ε3 + (1 +ε3 ) × (ε1 ©ε2 ) ε3 + (1 +ε3 ) × (ε1 ©ε2 ) Lukasiewicz 连接 max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε3 ,ε1 ©ε3 } max{ε3 ,ε1 ©ε2 } 3. 2 广义否定后件式 另一个 基本的模糊推理形式是广义否定后件 式 ,它可表述如下 : 前件 : IF X is A , T HEN Y is B , 事实 : Y is D , 后件 : X is C. 等价于μC ( y) = sup y ∈V (μD ( y) ,μA →B ( x , y) ) . (23) 前面分析广义肯定前提式的统计敏感性的方法 同样适用于分析广义否定后件式的统计敏感性 ,若 交换广义肯定前提式中的 C 与 D , 同样令 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B , C′= (ε3 ) C,则可分析得出广义否 定后件式的统计敏感性相等于广义肯定前提式的统 计敏感性 ,其在不同情况下的结果同样可以归纳为 表 1 所示的结果. 4 链接模糊推理的统计敏感性 链接模糊推理是人推理机制的另一种基本形 式 ,一般地链接模糊推理能够表述成如下的形式 : 前件 1 : IF X is A , T H EN Y is B , 前件 2 : IF Y is B1 , TH EN Z is C1 , 后件 : IF X is A , TH EN Z is C. 式中 : X , Y 和 Z 是语义变量 , A 是论域 U 上的 模糊集 , B 与 B 1 是论域 V 上的模糊集 , C 与 C1 是 论域 W 上的模糊集 ,根据前件条件 1 与 2 ,链接模 糊推理归纳出一个 U 到 W 的模糊关系 ,等价于 : μR ( x , z) = sup y ∈V t (μI( A , B) ( x , y) ,μI( B1 , C1 ) ( y , z) ) , Πx ∈U , z ∈W . (24) 其中 :t( ·) 表示 t2模算子 , I ( A , B) 与前件条件 1 相 关 , I( B1 , C1 ) 与前件条件 2 相关 ,则可知 R 仅仅是 I ( A , B) 与 I ( B1 , C1 ) 的一个合成. 这样便可以用前面 同样的方法推导出链接模糊推理在采用不同连接与 蕴涵算子时的统计敏感性 ,表 2 中列出了详细的分 析结果. 从表 2 中可以明显地看出 ,链接模糊推理的 后件部分具有较大的扰动量 ,由分析知这主要是由 于 max 与 ©算子的同时放大作用而产生的. 下面以 一种情况为例 ,说明如何推导链接模糊推理的统计 敏感性. 设采用的 2 算子分别为 min 连接与 Dienes2 Rescher 蕴涵 ,则有 μR ( x , z) = sup y ∈V min (max (1 - μA ( x) ,μB ( y) ) , max (1 - μB1 ( y) ,μC1 ( z) ) ) . (25) 若令 A′= (ε1 ) A 、B′= (ε2 ) B 、B′1 = (ε21 ) B 且 C′1 = (ε31 ) C1 ,同时令 R′表示 U 到 W 的模糊关系 ,由 定理 1 知 : I( A′, B′) = (max{ε1 ,ε2 }) I ( A , B) , I ( B′1 , C′1 ) = (max{ε21 ,ε31 }) I ( B1 , C1 ) . 又由引理 3 ,便可得 第 2 期 王士同 ,等 :模糊推理的统计敏感性分析 · 16 ·