第2期 王士同，等：模糊推理的统计敏感性分析 ·59 4auB(x,y以=max(P4(x),s(y以) 引理4设A,A是论域U上的2个模糊集，U 4'uB'(x,y以=max((x,(y以). 中概率分布为Px),B,B是论域V上的2个模糊 那么， 集，V中概率分布为Q(y以，若A'=(6)A,B'= A'UB'=(max()(A UB). 8) ()B,令AB表示模糊集A与B的关系积，AB表 证明首先为证明的方便，引入如下的替代公式： 示模糊集A与B的关系积，且模糊集的关系积算子 max((x,e(y以)≈w1凸(x)+w2(以. 定义为 (9) B(x,以=H4xg(以， 式中：w1+w2=1,w1,w20.这样便有 4a'(x,y以=H'(x),凸烟（以 d(44ug(x,以)≤ 则有AB'=(6⊙S)(AB). (13) fi011dPrwde)+ 证明由4(x)与%(x)的独立性，显然有 E(凸B(x,以)=E(8(x,以)， fics()dPwdew+ 又d(4a(x,以)=d(4(x)d(凸（以）. d(4a(x,以)=d((x)0(a(y) d(4ug(x,y以)= 则有 wid(0(x)+w3d((以)+0(4aus(x,以) 则 GxL-x)dh业< 0(4a(x,以)0(4(x)0((以) O(Lax⊥ (1+6)1+6)=1+6+6+66=1+6©6 0(4aUB(x,以) 1+idL⑧)+n0④边 至此，引理得证 (10) 0(41u8(x,以 2 蕴涵算子的统计敏感性 显然有d(4u(x,y)=wd(4(x)+wd(h(), 又A'=(6)A,B'=()B,则有d(6(x)< 在基于规则的模糊推理中蕴涵算子扮演着十分 Gd(44(x),0(⊙a(x)<d(4s(以).综上可得 重要的角色，本节中将对几类典型的蕴涵算子进行 (un'(x+ 统计敏感性分析.一般地，令I(A,B)表示U到V的 G(4us(x,以) 模糊关系，此关系由规则IF Xis A,THEN Y is B wis d(x))( 上的蕴涵算子所确定 w10(4(x)+w20(4a(以) 定理1当Dienes-Rescher蕴涵算子应用于模 1 max, 糊规则IF Xis A,THEN Y is B上时，即 至此，引理得证 I(A,B)=TUB或者，(x,y以=max(1- 引理2设B=(gA,若令T为A的补，B为B 4(x),g(以)，若A'=()A,B'=()B,则有 的补，即x)=1-4(x),(x)=1-Ma(x),则 1(A',B)=(max{9,)1(A,B).14) 有 证明由引理2，有T=()T;又由引理1，得 B=(9A工 11) UB'=(maxUB.1(A',B =(max 证明证明较为简单，此处从略 {,})I(A,B),则定理得证 引理3设A,A是论域U上的2个模糊集，U 定理2当Lukasiewicz蕴涵算子应用于模糊 中概率分布为P(x),B,B是论域V上的2个模糊 规则IF Xis A,THEN Y is B上时，即 集，V中概率分布为P(以，若A'=(G)A,B'= I(A,B=AXB或者4(x,y=max0,4(x)+ (S)B,令A∩B表示模糊集A与B的关系交，A'∩ a(以-1)， B表示模糊集A与B的关系交，且模糊集的关系 若A'=(9)A,B'=()B则有 交算子定义为 I(A',B)=(maxf9,9)I(A,B).(15) 4anax,以=min(4(x),a(以）， 证明由条件显然可得E(1(A,B)= 巴a'ns'(x,以=min(巴'(x),巴s'(y以) E(I(A,B)),又 则有A'nB'=(min(6,)(AnB). 12) (1(4B))(()= 证明此处证明类似于引理1的证明，故从略。 0(1(A,B) 0(4(x)+0((以) 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.netμA ∪B ( x , y) = max (μA ( x) ,μB ( y) ) , μA′∪B′( x , y) = max (μA′( x) ,μB′( y) ) . 那么 , A′∪B′= (max (ε1 ,ε2 ) ) ( A ∪B) . (8) 证明 首先为证明的方便,引入如下的替代公式: max (μA ( x) ,μB ( y) ) ≈ w1μA ( x) + w2μB ( y) . (9) 式中 :w1 + w2 = 1 , w1 , w2 ≥0. 这样便有 σ2 (μA′∪B′( x , y) ) ≤ Uκ×V w 2 1σ2 (δA ( x) ) d P( x) dQ( y) + Uκ×V w 2 2σ2 (δB ( x) ) d P( x) dQ( y) + σ2 (μA ∪B ( x , y) ) = w 2 1σ2 (δA ( x) ) + w 2 2σ2 (δB ( y) ) +σ2 (μA ∪B ( x , y) ) . 则 σ2 (μA′∪B′( x , y) ) σ2 (μA ∪B ( x , y) ) ≤ 1 + w 2 1σ2 (δA ( x) ) + w 2 2σ2 (δB ( y) ) σ2 (μA ∪B ( x , y) ) . (10) 显然有σ2 (μA ∪B ( x , y)) • w 2 1σ2 (μA ( x)) + w 2 2σ2 (μB ( y)) , 又 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B , 则有 σ2 (δA ( x ) ) < ε1σ2 (μA ( x) ) ,σ2 (δB ( x) ) <ε2σ2 (μB ( y) ) . 综上可得 σ2 (μA′∪B′( x , y) ) σ2 (μA ∪B ( x , y) ) < 1 + w 2 1ε1σ2 (μA ( x) ) + w 2 2ε2σ2 (μB ( y) ) w 2 1σ2 (μA ( x) ) + w 2 2σ2 (μB ( y) ) < 1 + max{ε1 ,ε2 } . 至此 ,引理得证. 引理 2 设 B = (ε) A ,若令 A 为 A 的补 , BŠ 为 B 的补 ,即μA ( x) = 1 - μA ( x) ,μBŠ ( x) = 1 - MB ( x) ,则 有 BŠ = (ε) A. (11) 证明 证明较为简单 ,此处从略. 引理 3 设 A , A′是论域 U 上的 2 个模糊集 , U 中概率分布为 P ( x) , B , B′是论域 V 上的 2 个模糊 集 ,V 中概率分布为 P ( y) , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B ,令 A ∩B 表示模糊集 A 与 B 的关系交 , A′∩ B′表示模糊集 A′与 B′的关系交 ,且模糊集的关系 交算子定义为 μA ∩B ( x , y) = min (μA ( x) ,μB ( y) ) , μA′∩B′( x , y) = min (μA′( x) ,μB′( y) ) . 则有 A′∩B′= (min (ε1 ,ε2 ) ) ( A ∩B) . (12) 证明 此处证明类似于引理 1 的证明 ,故从略. 引理 4 设 A , A′是论域 U 上的 2 个模糊集 , U 中概率分布为 P ( x) , B , B′是论域 V 上的 2 个模糊 集 ,V 中概率分布为 Q ( y) , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B ,令 A B 表示模糊集 A 与 B 的关系积 , A′B′表 示模糊集 A′与 B′的关系积 ,且模糊集的关系积算子 定义为 μAB ( x , y) = μA ( x)μB ( y) , μA′B′( x , y) = μA′( x) ,μB′( y) . 则有 A′B′= ( (ε1 ©ε2 ) ) ( A B) . (13) 证明 由 μA ( x ) 与 μB ( x ) 的独立性 , 显然有 E(μAB ( x , y) ) = E(μA′B′( x , y) ) , 又σ2 (μAB ( x , y) ) =σ2 (μA ( x) )σ2 (μB ( y) ) . σ2 (μA′B′( x , y) ) =σ2 (μA′( x) )σ2 (μB′( y) ) . 则有 σ2 (μA′B′( x , y) ) σ2 (μAB ( x , y) ) = σ2 (μA′( x) )σ2 (μB′( y) ) σ2 (μA ( x) )σ2 (μB ( y) ) < (1 +ε1 ) (1 +ε2 ) = 1 +ε1 +ε2 +ε1ε2 = 1 +ε1 ©ε2 . 至此 ,引理得证. 2 蕴涵算子的统计敏感性 在基于规则的模糊推理中蕴涵算子扮演着十分 重要的角色 ,本节中将对几类典型的蕴涵算子进行 统计敏感性分析. 一般地 ,令 I ( A , B) 表示 U 到 V 的 模糊关系 ,此关系由规则 IF X is A , T HEN Y is B 上的蕴涵算子所确定. 定理 1 当 Dienes2Rescher 蕴涵算子应用于模 糊规则 IF X is A , T HEN Y is B 上时 ,即 I ( A , B ) = A ∪B 或者μI ( x , y ) = max ( 1 - μA ( x) ,μB ( y) ) ,若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B ,则有 I( A′, B′) = (max{ε1 ,ε2 }) I ( A , B) . (14) 证明 由引理 2 ,有 A′= (ε1 ) A ;又由引理 1 ,得 A′∪B′= (max{ε1 ,ε2 }) A ∪B ,即 I ( A′, B′) = (max {ε1 ,ε2 }) I ( A , B) ,则定理得证. 定理 2 当 Lukasiewicz 蕴涵算子应用于模糊 规则 IF X is A , T HEN Y is B 上时 ,即 I( A , B) = A ×B 或者μI ( x , y) = max (0 ,μA ( x) + μB ( y) - 1) , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 则有 I( A′, B′) = (max{ε1 ,ε2 }) I ( A , B) . (15) 证明 由条件显 然可得 E ( I ( A′, B′) ) = E( I( A , B) ) ,又 σ2 ( I( A′, B′) ) σ2 ( I( A , B) ) = σ2 (μA′( x) ) +σ2 (μB′( y) ) σ2 (μA ( x) ) +σ2 (μB ( y) ) = 第 2 期 王士同 ,等 :模糊推理的统计敏感性分析 · 95 ·