·58 智能系统学报 第2卷 数，若满足1-s罗4(x)-4h(川≤66∈0,1]， E(PA(x-s(x))=0, 则称A与B8.相等，记为A≈⑨B.然后他给出了 i.e.E(4x)= dP= 一个用于模糊推理的鲁棒性分析的系统框架.与 Pappis的定义相似，Ying)提出了模糊推理的最大 E(4a(x)= f(dP( (1) 与平均扰动的概念，其中用一个固定的参数￡来评 d(4(x)-(x)应该趋向于0， 估在模糊集或模糊推理中的扰动程度，据此可估计 i.e.d(u4(x)≈0(ax) 2 得出最大与平均扰动的参数值，详细的相关研究内 此处E()和()分别表示求均值与方差.对于 容可参考[19-36]，特别地，文献[26-28]的研究代 上面的条件，等价于当扰动足够小时，4(x)应逼近 表了鲁棒模糊推理的最新进展.综合而言，目前所有 于(x),同时d(4(x)也应逼近于0((x). 的模糊推理的鲁棒性分析方法均是基于2类模糊集 这样可以对模糊集引入如下的统计相等的定义 的隶属度函数(MFs)的绝对差的上界而展开分析 定义1令U是某一具有概率分布P(x)的论 的 域，A和B是U上的2个模糊集，4(x)和a(x分 事实上，对于实际中产生的噪音，可以假设它的 别为它们的连续MFs,假设B是A一个扰动，即 均值为0，并且标准差很小.这就意味着鲁棒性分析 xs(x)=4(x)+6(x,此处6(x表示独立随 必须建立在下面2个基础假设之上：1)实际数据与 机噪声，满足E(6(x))=0,则如果下面几个公式同 真实数据间的均值应保持不变，且方差也不会由于 时满足，则称A与BE-统计相等，记为B=gA 噪音的存在而产生较大幅度的增大.2)在失真的数 E((x)=E(g(x), (3 据上作任何的鲁棒性讨论是没有现实意义的.所以 从统计学的观点来看，前面的一些定义是不全面的， (x⊥d(4ax2 max <1+e. 0(ax)'0(4(x) 应以均值与标准差的概论为视角，研究分析模糊推 0<￡<1 (4) 理的鲁棒性.据此提出了s统计相等的概念，并理论 为讨论的方便，不失一般性，可假设d((x)> 上探讨了在使用不同的模糊推理方法时它们的均值 (4(x),则式4)可简化如下： 与方差将会产生怎样的变化，分析所得的结果将有助 d(4ax⊥ 于在设计模糊逻辑系统时选择最佳的模糊推理方法. <1+e= d(4(x划) d(⊙xL<e.(5) d(4(x) 文中提出了在模糊集上的e统计等式的概念， 定义2 据此可以理论地推导出模糊推理的统计敏感性.2 1)令0<，<1,6,6上的算子⊙定义如下： 个模糊集的ε统计相等要求两个模糊集具有相等的 6⊙6=6+6+号5 (6) 均值与e相近的方差.需要指出的是Ying在文献 2)定义：矢量W=(1,w2,wd为d维权重矢 [3]中使用概率的方法讨论了模糊推理的平均扰动， 从这一角度来看，本文的工作与此有相似性.然而与 量，若满足w,∈0,1]沮，w,=1:映射WM.:R→R Ying、Cai等所做工作显然不同的是：首先，更着重 为d维权重平均(WM),若满足： 于均值与标准差的分析，且文中的方法是完全基于 d WM.(am,a,…aal= (7) 统计的，这与目前大都数鲁棒性分析方法相吻合，更 适合于现实的要求，其次，文中的方法由于在e统计 基于上述定义，显然可得： 相等中使用了非固定变量ε而具有更好的普遍意义， 6⊙6>6,9⊙6>6 min(am,m,adl≤ 1 基本定义和引理 WMw(a ,.aa)max(a ,.aa) 首先定义2个模糊集的：统计相等的概念，设 引理1设A,A是论域U上的2个模糊集，U U是某一具有概率分布P(x)的论域，A和B是U 中概率分布为P(x),B,B是论域V上的2个模糊 上的2个模糊集，4(x)和(x)分别表示它们各自 集，V中概率分布为Q(y以，若A'=()A,B'= 的隶属度函数.假设A是B的一个扰动，从统计学 ()B,令AUB表示模糊集A与B的关系并，A'U 的角度来看，若此扰动很小以至于可以忽略不计，那 B表示模糊集A与B的关系并，且模糊集的关系 么A与B应满足如下条件： 并算子定义为 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net数 ,若满足 1 - sup x ∈U |μA ( x) - μB ( x) | ≤δ,δ∈[0 , 1 ] , 则称 A 与 Bδ- 相等 ,记为 A≈(δ) B. 然后他给出了 一个用于模糊推理的鲁棒性分析的系统框架. 与 Pappis 的定义相似 , Ying [3 ] 提出了模糊推理的最大 与平均扰动的概念 ,其中用一个固定的参数ε来评 估在模糊集或模糊推理中的扰动程度 ,据此可估计 得出最大与平均扰动的参数值 ,详细的相关研究内 容可参考[19 - 36 ] ,特别地 ,文献[26 - 28 ]的研究代 表了鲁棒模糊推理的最新进展. 综合而言 ,目前所有 的模糊推理的鲁棒性分析方法均是基于 2 类模糊集 的隶属度函数 (MFs) 的绝对差的上界而展开分析 的. 事实上 ,对于实际中产生的噪音 ,可以假设它的 均值为 0 ,并且标准差很小. 这就意味着鲁棒性分析 必须建立在下面 2 个基础假设之上 :1) 实际数据与 真实数据间的均值应保持不变 ,且方差也不会由于 噪音的存在而产生较大幅度的增大. 2) 在失真的数 据上作任何的鲁棒性讨论是没有现实意义的. 所以 从统计学的观点来看 ,前面的一些定义是不全面的 , 应以均值与标准差的概论为视角 ,研究分析模糊推 理的鲁棒性. 据此提出了ε2统计相等的概念 ,并理论 上探讨了在使用不同的模糊推理方法时它们的均值 与方差将会产生怎样的变化 ,分析所得的结果将有助 于在设计模糊逻辑系统时选择最佳的模糊推理方法. 文中提出了在模糊集上的ε2统计等式的概念 , 据此可以理论地推导出模糊推理的统计敏感性. 2 个模糊集的ε2统计相等要求两个模糊集具有相等的 均值与ε相近的方差. 需要指出的是 Ying 在文献 [3 ]中使用概率的方法讨论了模糊推理的平均扰动 , 从这一角度来看 ,本文的工作与此有相似性. 然而与 Ying、Cai 等所做工作显然不同的是 :首先 ,更着重 于均值与标准差的分析 ,且文中的方法是完全基于 统计的 ,这与目前大都数鲁棒性分析方法相吻合 ,更 适合于现实的要求;其次 ,文中的方法由于在ε2统计 相等中使用了非固定变量ε而具有更好的普遍意义. 1 基本定义和引理 首先定义 2 个模糊集的ε2统计相等的概念 ,设 U 是某一具有概率分布 P ( x) 的论域 , A 和 B 是 U 上的 2 个模糊集 ,μA ( x) 和μB ( x) 分别表示它们各自 的隶属度函数. 假设 A 是 B 的一个扰动 ,从统计学 的角度来看 ,若此扰动很小以至于可以忽略不计 ,那 么 A 与 B 应满足如下条件 : E(μA ( x) - μB ( x) ) = 0 , i. e. E(μA ( x) ) =∫μA ( x) d P( x) = E(μB ( x) ) =∫μB ( x) d P( x) . (1) σ2 (μA ( x) - μB ( x) ) 应该趋向于 0 , i. e. σ2 (μA ( x) ) ≈σ2 (μB ( x) ) . (2) 此处 E( ·) 和σ2 ( ·) 分别表示求均值与方差. 对于 上面的条件 ,等价于当扰动足够小时 ,μA ( x) 应逼近 于μB ( x) ,同时σ2 (μA ( x) ) 也应逼近于σ2 (μB ( x) ) . 这样可以对模糊集引入如下的统计相等的定义. 定义 1 令 U 是某一具有概率分布 P ( x) 的论 域 , A 和 B 是 U 上的 2 个模糊集 ,μA ( x) 和μB ( x) 分 别为它们的连续 MFs , 假设 B 是 A 一个扰动 , 即 ΠxμB ( x) =μA ( x) +δA ( x) ,此处δA ( x) 表示独立随 机噪声 ,满足 E(δA ( x) ) = 0 ,则如果下面几个公式同 时满足 ,则称 A 与 Bε2统计相等 ,记为 B = (ε) A . E(μA ( x) ) = E(μB ( x) ) , (3) max σ2 (μA ( x) ) σ2 (μB ( x) ) , σ2 (μB ( x) ) σ2 (μA ( x) ) < 1 +ε, 0 <ε< 1 (4) 为讨论的方便, 不失一般性, 可假设σ2 (μB ( x) ) > σ2 (μA ( x) ) ,则式(4) 可简化如下 : σ2 (μB ( x) ) σ2 (μA ( x) ) < 1 +ε≡ σ2 (δA ( x) ) σ2 (μA ( x) ) <ε. (5) 定义 2 1) 令 0 <ε1 ,ε2 < 1 ,ε1 ,ε2 上的算子 ©定义如下 : ε1 ©ε2 =ε1 +ε2 +ε1ε2 . (6) 2) 定义 :矢量 W = ( w1 , w2 , …, wd ) 为 d 维权重矢 量,若满足 wi ∈[0 ,1 ]且 ∑ e i = 1 wi = 1;映射 WM w ∶R n →R 为 d 维权重平均(W M) ,若满足 : W M w ( a1 , a2 , …, ad ) = ∑ d i = 1 wi ai . (7) 基于上述定义 ,显然可得 : ε1 ©ε2 >ε1 ,ε1 Ýε2 >ε2 . min ( a1 , a2 , …, ad ) ≤ W M w ( a1 , a2 , …, ad ) ≤max ( a1 , a2 , …, ad ) . 引理 1 设 A , A′是论域 U 上的 2 个模糊集 , U 中概率分布为 P ( x) , B , B′是论域 V 上的 2 个模糊 集 ,V 中概率分布为 Q ( y) , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B ,令 A ∪B 表示模糊集 A 与 B 的关系并 , A′∪ B′表示模糊集 A′与 B′的关系并 ,且模糊集的关系 并算子定义为 · 85 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷