第二节常数项级数的审敛法 教学目的:掌握数项级数收敛性的判别方法 教学重点:正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,交错级数的莱布尼兹 收敛的概念。 教学难点:任意项级数收敛性的判别方法 教学内容 正项级数及其审敛法 每项均为非负的级数称为正项级数 设级数+2+3+…+2+…是一个正项级数,≥0),它的部分和数列{S S≤S2≤S3≤…≤S≤…,从而有 定理!正项级数收敛台它的部分和数列{有界 推论:如果正项级数2”发散,则它的部分和数列S→+(n→ 定理2(比较审敛法)己知二正项级数1+2+23+…+2+…(4) v1+v2+3+…+y2+…(B) )若级数(4)收敛且对大于某个正整数的一切n,都有V≤u则级数(2)也收敛 (2)若级数4)发散且对大于某个正整数的一切x,都有V≥,则级数(2)也发散 证明设AR月存在,又因]个,故三A。根据级数基本性质3,不妨认 分别表示级数(4)和(B)的前x项和 ④已知A ∑ν≤∑…,即5A,故2,≤,即(B有上界,所以如气 存在,即 (2)用反证法,若幻”收敛,则因已设x≤V2,由(推知幻收敛,与题设矛盾, 推论设 和2 都是正项级数,如果级数x1收敛,且存在自然数N,使得 立,则级数幻收敛:如果级数红"发散,且当时有22知(>0)成立,则 1+二+-+…+二 例1证明调和级数23 是发散的 y=1h(1+x)第二节 常数项级数的审敛法 教学目的：掌握数项级数收敛性的判别方法 教学重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹 收敛的概念。 教学难点：任意项级数收敛性的判别方法 教学内容： 一、 正项级数及其审敛法 每项均为非负的级数称为正项级数 设级数 是一个正项级数 ，它的部分和数列 ，从而有 定理1 正项级数 收敛 它的部分和数列 有界。 推论：如果正项级数 发散，则它的部分和数列 定理2（比较审敛法）已知二正项级数 ⑴ 若级数 收敛且对大于某个正整数的一切 ，都有 则级数 也收敛； ⑵ 若级数 发散且对大于某个正整数的一切 ，都有 ，则级数 也发散。 证明 设 和 分别表示级数 和 的前 项和 ⑴ 已知 存在，又因 ，故 。根据级数基本性质3，不妨认 ，即 ，故 ，即 有上界，所以 存在，即 ⑵ 用反证法，若 收敛，则因已设 ，由⑴推知 收敛，与题设矛盾， 推论 设 和 都是正项级数，如果级数 收敛，且存在自然数N，使得 立，则级数 收敛；如果级数 发散，且当n³N时有 成立，则 例1 证明调和级数 是发散的