130 数字像处理（第三版） 在43节，我们将利用周期冲激串的傅里叶变换。得到这个变换并不像我们得到刚才显示的单个冲激 的变换那样简单。然而，理解如何推导一个冲激串的变换是十分重要的，因此这里我们花一些时间来详 细推导它。我们从仅在形式上与式(4216)和(4217)的指数符号上有些不同的注释开始。这样，如果函 数了有傅里叶变换F(),则在点求值后函数是F),它一定有变换f(一4)。使用这种对称特性和上 面给出的冲激6-)的傅里叶变换是e%，,可得函数e卫%的变换为6(-μ-6)。令-6=a,可得 e卫的变换是6(-u+a)=μ-a),其中最后一步是正确的，因为6仅在4=a时不为零，对于 6(-μ+a)或6（μ-a),结果均相同，因此这两种形式是等价的。 式(4214)中的冲激串sx)是周期为△T的周期函数，因此由422节可知它可表示为一个傅里叶级数： rm=∑ce0 其中。 参考图43，我们看到区间-△T12,△T12的积分仅包含位于原点的冲激5)。因此。上面的公式变为 然后，傅里叶级数可展开为 如立2帝 我们的目的是得到该表达式的傅里叶变换。因为求和是线性过程，得到和的傅里叶变换与求各个分 量的傅里叶变换之和是相同的。这些分量是指数形式，在这个例子中，我们早些时候已确立 因此，周期冲激串54，)的傅里叶变换S)是 sum=s-8位20如2立2“-) 这个基本结果告诉我们，周期为△T的冲激串的傅里叶变换还是冲激串，其周期为1/△T。5,)和S(4) 之间周期的这种反比关系与图4.4中盒状函数及其变换之间的关系是类似的。这种特性在本章的其余部分 中扮演着主要角色。 4.2.5卷积 在讨论之前，我们还需要建立一个模块。我们在3.4.2节介绍过卷积的概念。在那一节，您已了 解两个函数的卷积涉及一个函数关于原点做翻转（旋转180°）并滑过另一个函数。在滑动过程中的每 一个位移处我们执行计算，在第3章的情况下是计算乘积之和。在当前讨论中，我们的兴趣在于具有 连续变量1的两个连续函数f)和)的卷积，因此我们必须用积分代替求和。像之前那样，这两个 函数的卷积由算子★表示，卷积定义如下： 画 f)★h)=」f(c)ht-t)dr (4.2-20