第4章频率城滤波 129 一个简单函数的傅里叶变换 F=f(edr=J2AeP山 动ewa em-e]小Aw (xW) 其中，我们利用了三角学恒等式sn0=(c9-e)/2j。在这种情况下，傅里叶变换的复数项精细地合并 为一个实正弦函数。前面表达式的最后一步是熟知的sc函数： sinc(m)sin(n) (42-19) 《Um) 其中，sinc(0)=1,对于m的所有其他整数值，sncm)=0。图4.4句)显示了F()的曲线。 通常，傅里叶变换包含复数项，且为显示目的，通常处理该变换的幅值（一个实量），该幅值称为傅 里叶谱或频谱： F啡-Awe 图4.4（©）显示了作为频率的函数的F(μ的曲线。我们注意的关键特性是F(4)和F(μ)的零值位置与“盒 状”函数的宽度W成反比，即波瓣的高度随函数距原点的距离降低，并且函数在：值的正方向和负方向 上无限扩展。正如您在稍后将会看到的那样，这些性质对解释图像的二维傅里叶变换谱十分有用。 a b c lECl AW aaa -2/w 2/W. ..-2/W /w2w. 图44(a一个简单的函数：()该函数的傅里叶变换：()该函数的谱。所有函数在两个方向上都无限扩展 例4.2冲激和冲激串的傅里叶变换 位于原点的单位冲澈的傅里叶变换由式(4.2-16)给出： F(u)）=∫广ewd=厂ew80t=e0=e°=l 其中，第三步由式(4.29)中的取样特性得出。这样，我们看到，一个位于空间域原点的冲激的傅里叶变 换，在频率域是一个常数。类似地。位于1=6的一个冲激的傅里叶变换是 F)=厂60-6)e-d山=∫广ew60-6)d=e=cos(2u)-jsin(2r,) 公式的第三步由式(4210)中的取样特性得到，最后一行由欧拉公式得到。最后两行是以复平面原点为中 28 心的单位圆的等效表示。 230