第4章频率域滤波 131 其中，负号表示网刚刚提及的翻转，1是一个函数滑过另一个函数的位移.而：是积分假变量。现在我 们假定函数从一∞扩展到∞。 在图3.4.2中我们说明了卷积的基本机制，而且在本章稍后和第5章中我们会再次说明它。此时， 我们的兴趣在于寻找式(4.2-20)的傅里叶变换。我们从式(4.2-15)开始： 3o*ho=∫feh-dre山=∫feyh-edrd 方括号中的项是一)的傅里叶变换。我们在本章稍后将证明 3h-)川=H(u)e2r,其中H()是h)的傅里叶变换。在前 如果颜倒0和)的顺序，可 以得到相同的结果。故卷积清足交 一公式中利用这一事实可得 换律。 (f()[H()e dr=H(f(e-d=H()F() 回顺一下42.4节，我们将所在的域称为空间域。而将μ所在的域称为频率域，前面的公式告诉我 们，空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域中的乘积。反过来， 如果有两个变换的乘积，那么我们可以通过计算傅里叶反变换得到空间域的卷积。换句话说 f)★h()和H(u)F(4)是傅里叶变换对。这一结果是卷积定理的一半，并可以写为 f)★h)台H(4)F(4) (4.2-21)】 双箭头用于指示右边的表达式是通过对左边的表达式执行傅里叶变换得到的，而左边的表达式是通过 求右边的表达式的傅里叶反变换得到的。 遵循类似的推导可得到卷积定理的另一半： f)h()台H(μ)★F(4) (42-22 它说明频率域的卷积类似于空间域的乘积，两者分别与傅里叶正、反变换相联系。正如在本章稍后您 将看到的那样，卷积定理是频率域滤波的基础。 4.3取样和取样函数的傅里叶变换 在这一节，我们将利用4.2节的概念系统地阐述取样的数学基础。这将从基本原理开始引导我们 学习取样函数的傅里叶变换。 4.3.1取样 用计算机处理之前，连续函数必须转换为离散值序列。正如2.4节介绍的那样，这是用取样和量 化来完成的。在下面的讨论中，我们将详细地研究取样。 参考图45，考虑一个连续函数f),我们希望以独立变量1的均今间隔（△T)取样。我们假定函 数对于！从一x到x扩展。如4.2.3节讨论的那样，模拟取样的一种方法是用一个△T单位间隔的冲激 串作为取样函数去乘以f),即 j0=f05r0=∑f06-naTn (4.3-1) 中。和表示取样后的函数。这一和式的每一个分量都是由在该冲激位置处0的值加权后的冲激，园