精品课程《数学分析》课外训练方案 解因(=0+-c∑,n1-,<1.所以 nx=2hx+1=2>1(x-1)2 <+0。 =0 2n+1x+ x+1 五、自测题 1、求下列级数的收敛半径和收敛域 (1) (2)>n"x” (3) 2、证明∑(3+(-1)x”在(-,)绝对收敛,在其他点发散。 3、求下列幂级数的和函数 )21)-=63:立m,(3)-y2n;(4)2 4、求下列函数按x幂级数展开的 Taylor级数 6 ()sin-x (2)x-x+2) (3)ln(1-x-x2+x3)。 5、求y=ln(x+√l+x2)在x0=0的 Taylor展开 6、将一:(1)按x-1幂级数展开;(2)按幂级数展开 x+1精品课程《数学分析》课外训练方案 3 解 因 [ ] 2 1 0 2 1 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 1 1 1 ln + ∞ = ∑ + = + − − = − + n n x n x x x x ， x < 1。所以 2 1 0 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ln 2ln + ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = + − − + − + = ∑ n n x x n x x x x x ， x < +∞ 。 五、自测题 1、求下列级数的收敛半径和收敛域。 （1） 1 n n x n ∞ = ∑ ； （2） ； （3） 1 n n n n x ∞ = ∑ 0 ! n n x n ∞ = ∑ 2、证明 0 (3 ( 1) ) n n n n x ∞ = ∑ + − 在 1 1 ( , 4 4 − ) 绝对收敛，在其他点发散。 3、求下列幂级数的和函数 （1） 1 1 ( 1) ( ) n n n x s x n ∞ − = ∑ − = ； (2) 2 ； （3） 1 n n nx ∞ = ∑ 2 1 0 ( 1) 2 1 n n n x n ∞ + = − + ∑ ； （4） 0 n n x n ∞ = ∑ 。 4、求下列函数按 x 幂级数展开的 Taylor 级数。 (1) 2 sin x ； (2) 6 ( 1 x x − + )( 2) ； (3) 2 3 ln(1− −x x + x ) 。 5、求 2 y x = + ln( 1+ x )在 的 Taylor 展开. 0 x = 0 6、将 1 x ：(1) 按 x −1幂级数展开；(2) 按 1 1 x x − + 幂级数展开