精品课程《数学分析》课外训练方案 an(x-x)]=∑man(x-x s(x 并且逐项求导和逐项积分后的级数(仍为幂级数),其收敛半径仍为R 、基本方法 1、用泰勒公式或其它简介方式将初等函数进行幂级数展开; 2、根式法求收敛级数的半径 三、基本要求 1、会用泰勒公式或其它简单方式将初等函数进行幂级数展开 2、会求幂级数的收敛半径 四、典型例题 例1用间接方法求非初等函数F(x)=ed的幂级数展开式 解以-x2代替ex展式中的x,得e 再逐 l!2!3 项求积就得到F(x)在(-∞,+∞)上的展开式 F(x) dt l!32!53!7 2+1 例2应用逐项求积方法求幂级数12x+2·3x2+…+n(n+1)x”+…的和函数,并指出其定义域 +2 解因 =1,且当x=±1时,级数发散,该级数的收敛域为(-1,1)。设其和函数为 f(x),则f(x)=∑mn+1)x",x∈(-1)。在收敛区域内逐项积分,得()d=x.m"=十 所 例3试将函数x按x二的幂展开为幂级数 x+1精品课程《数学分析》课外训练方案 2 1 0 0 0 0 [ ( ) ] ( ) ( ) n n n n n n d d a x x na x x s x dx dx ∞ ∞ − = = ∑ ∑ − = − = 并且逐项求导和逐项积分后的级数（仍为幂级数），其收敛半径仍为 R 。 二、基本方法 1、用泰勒公式或其它简介方式将初等函数进行幂级数展开； 2、根式法求收敛级数的半径。 三、基本要求 1、会用泰勒公式或其它简单方式将初等函数进行幂级数展开； 2、会求幂级数的收敛半径。 四、典型例题 例 1 用间接方法求非初等函数 F x e dt 的幂级数展开式。 x t ∫ − = 0 2 ( ) 解 以 − x 2 代替e x 展式中的 x ，得 L +L − = − + − + + − ! ( 1) 1! 2! 3! 1 2 4 6 2 2 n x x x x e n n x ， 。再逐 项求积就得到 在 −∞ < x < ∞ F(x) (−∞,+∞) 上的展开式 L +L + − = − + − + + = + − ∫ ! 2 1 ( 1) 3! 7 1 2! 5 1 1! 3 1 ( ) 3 5 7 2 1 0 2 n x n x x x x F x e dt n n x t 例 2 应用逐项求积方法求幂级数 ⋅ + ⋅ +L+ + +L的和函数，并指出其定义域。 n 1 2x 2 3x n(n 1)x 2 解 因 1 2 lim lim 1 = + = →∞ + →∞ n n a a n n n n ，且当 x = ±1时，级数发散，该级数的收敛域为 。设其和函数为 ，则 ， 。在收敛区域内逐项积分，得 (−1,1) f (x) ∑ ∞ = = + 1 ( ) ( 1) n n f x n n x x ∈ (−1,1) 2 2 1 0 (1 ) ( ) x x f t dt x nx n n x − = ⋅∑ = ∫ ∞ = ， 所以 3 / 2 2 (1 ) 2 (1 ) ( ) x x x x f x − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ， x < 1。 例 3 试将函数ln x 按 1 1 + − x x 的幂展开为幂级数