则有 (51,52,…,Em)=(m1,n2,……,mn)B 推论3设V是m维线性空间,U是n维线性空间,φ∈L(V,U).则存在V 的基51,…,5m和U的基m,…,m使得 I. 0 三.n维空间V的线性变换与n阶方阵 定义1设A,B是两个K一代数,若存在K-空间同构映射:A→B且 满足e(aB)=6(a)(),则称e是K-代数同构 定理4设V是数域K上n维空间,51,2,……,5n是V的一组基,令 6:L(V) 其中 (51,52,…,5n)=(51,52,…,5n)A 则6是代数同构 证明由上面定理知θ是线性空间的同构映射.设φ,v∈L(V),且 y(51;,2,…,5n)=(51,52,…,5n)A u(51,52,……,5n)=(51,52,……,5n)B, 则 uy(51)=v(an151+a252+…+an5n) (u65,v(6)…,(s)2|=(6,5…,m)Ba2 所以 5n)=(51,52,……,5n)B❻➳ ϕ(ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m) = (η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n )B. ✷ ➭➯ 3 ❹ V ✩ m ➲✒✓●❍✳ U ✩ n ➲✒✓●❍✳ ϕ ∈ L(V, U). ❻ ➀ P V ✯✿ ξ1, · · · , ξm ❑ U ✯✿ η1, · · · , ηn ➁➂ ϕ(ξ1, · · · , ξm) = (η1, · · · , ηn)  Ir 0 0 0  . ✷ ➬✻ n ➲●❍ V ✯ ✒✓❡❢✖ n ➮ ❥ ✘ ➥➱ 1 ❹ A, B ✩❯❱ K− ✬✭✳➘➀ P K− ●❍■❏ ✔✕ Θ : A → B ❽ ➠➡ Θ(αβ) = Θ(α)Θ(β), ❻→ Θ ✩ K− ✬✭■❏✻ ➥❸ 4 ❹ V ✩✭❺ K ❘ n ➲●❍✳ ξ1, ξ2, · · · , ξn ✩ V ✯❂❵✿✳➦ Θ : L(V ) → Kn×n , ϕ 7→ A, ❖✮ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A. ❻ Θ ✩✬✭■❏✻ ➃➄ ✾ ❘➏❄❋ ➊ Θ ✩ ✒✓●❍✯■❏ ✔✕✻ ❹ ϕ, ψ ∈ L(V ), ❽ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, ψ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)B, ❻ ψϕ(ξi) = ψ(ai1ξ1 + ai2ξ2 + · · · + ainξn) = (ψ(ξ1), ψ(ξ2), · · · , ψ(ξn))   ai1 ai2 · · · ain   = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)B   ai1 ai2 · · · ain   . ➅ ② ψϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)BA, 6