所以 要特别注意上面的两个定理得前提是分别取定V和U的一组基.当取不同的 基时有下面的结论 定理3设5152,……,5m和51,总2,…,Em是V的基且 (51,2,…,Em)=(51,52,…,5m)P 设m,m,……,mn和mh1,n12,…,m是W的基且 (n1,n2,…,mn)=(m,m2,…,mn)Q 设φ∈L(V,W), y(51,52,……,5m)=(m,m,…,mh)Anxm, B 则B=Q-AP,即A相抵于B 反之,若A,B∈Kn×m是相抵的,则A,B是同一个线性映射在两组不同基 下的矩阵 证明因为 (51,52,…,5m)=y(51,…,5m)P=( )AP=(h1,……,mn)Q 所以B=Q-AP 反之,设存在可逆阵P,Q,使得B=Q1AP.设V是m维线性空间, 51,52,……,5m是V的一组基,U是n维线性空间,m,m,…,mn是U的基.则 A决定了一个∈L(V,U)满足 (51,52,…,5m)=(m,T )A. 设51,52…,5是V的另一个基,满足 (51,52…,m)=(51,52,…,5m)P h1,n2,……,m是U的另一个基,满足 (n,n,……,mn)=(m,m2,…,m)Q➅ ② σ2ϕ = Aσ1. ✷ ✱➪➶➧❙❘➏✯❯❱❄❋ ➂ ➞➟✩❩➶➝❄ V ❑ U ✯❂❵✿✻➹➝❛■✯ ✿➎➳❜➏✯➵➸✻ ➥❸ 3 ❹ ξ1, ξ2, · · · , ξm ❑ ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m ✩ V ✯✿❽ (ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m) = (ξ1, ξ2, · · · , ξm)P. ❹ η1, η2, · · · , ηn ❑ η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n ✩ W ✯✿❽ (η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n ) = (η1, η2, · · · , ηn)Q. ❹ ϕ ∈ L(V, W), ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)An×m, ϕ(ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m) = (η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n )Bn×m. ❻ B = Q−1AP, ➈ A ❲❳❈ B. ➢❧✳➘ A, B ∈ Kn×m ✩❲❳✯✳❻ A, B ✩■❂❱✒✓✔✕P❯❵❛ ■✿ ❜✯✗✘✻ ➃➄ ➴▼ ϕ(ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m) = ϕ(ξ1, · · · , ξm)P = (η1, · · · , ηn)AP = (η 0 1 , · · · , η0 n )Q −1AP, ➅ ② B = Q−1AP. ➢❧✳ ❹➀P➓➷ ✘ P, Q, ➁➂ B = Q−1AP. ❹ V ✩ m ➲✒✓● ❍✳ ξ1, ξ2, · · · , ξm ✩ V ✯❂❵✿✳ U ✩ n ➲✒✓●❍✳ η1, η2, · · · , ηn ✩ U ✯✿✻❻ A ❶❄✶❂❱ ϕ ∈ L(V, U) ➠➡ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)A. ❹ ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m ✩ V ✯ ➚ ❂❱✿✳➠➡ (ξ 0 1 , ξ0 2 , · · · , ξ0 m) = (ξ1, ξ2, · · · , ξm)P, η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n ✩ U ✯ ➚ ❂❱✿✳➠➡ (η 0 1 , η0 2 , · · · , η0 n ) = (η1, η2, · · · , ηn)Q. 5