由于a1,…,a。线性无关，故l,…,山不全为零设第一个不为零的是h,则h≥.从而月。可以 由a1,…,a,月1…，.线性表示.令民=，民，=1，，3-1=.-1，月+1=月+1，， =,则 {a1…,a,3+1,3}兰{，…，} 由归纳法原理可知结论成立 3.设向量组a1,02,…,a,的秩为r,a,0a…,an是它的一个部分组.证明如果1，a2,…,0。 可由aaa…,a,线性表出，则aa…,,是a,a2,…,a,的一个极大线性无关组 证明：作为向量组的部分组，a4,…,.当然可以被a,…,a,线性表示.因此这两个向量组等 价，从而有相同的秩.于是由命题1.9可知向量组Q1,,,线性无关，由推论1.8可知它是极大线性 无关组 4.设a1,2,…,4与a1,a2,…,a,a4+1,a+2,…,a,有相同的秩证明a1,a2,…,a4与a1,a2 …,a。等价. 证明：根据假设，有 L(a1,·,ae）CL(a1,,04,0+1,·.a.), 又因这两个向量组有相同的秩，因此它们张成的线性子空间有相同的维数，从而相等再利用命题11 可知这两个向量组线性等价. 5.对下列向量组。将1扩充成向量组的一个极大无关组： (1)1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2)a3=(3,0,7,14).a4=(1,-1,2,0,a5=(2,1,5,6j: (2)a1=(1,-1.0.1.1),a2=2.1.3.-1.0),a3=(3,0.3.0,1),04=(1,-1,1,-1.1),a5= (-1,-5,-6,53),6=(2,1,2,1,0). 解：(1)a1,2,a4 (2)a4,a2,a4 6.设向量组{a1,a2,…,a},{,2,…,3},{a1,a2,…,a,,2,,3}的秩分别是r1,T2,r3 证明 max{r1,2}≤r3≤r1+r2. 证明由于向量组{1…，a,},{,…,}都可由向量组{a1,…,a,,…,}线性表示，故 rh≤r3,T2≤r3, 从而 max{r1.r2}≤r3 设0…，，是1，…，a的一个极大线性无关组。月1…，是，…，的一个极大线性无 关组。则 {a1…0,月，…，3}兰{a…,0n,月…，月n2} 所以 r3=rank{a4,…,a41,,…,月n}≤rn+r2. 7.设向量组{a,a2,…,a小，{2，…，}，{a1+,2+2,…,a+月}的秩分别是1,r2, 3.证明：r3≤r1+r2 证明：因为{a1+…,a+}可由{a1,…,a,…,，}线性表示，因此它的秩 3≤rank{a1,…,a,,…,3,}≤rank{a1,…,a}+rank{,…,,}=rn1+r2 2N< α1, · · · , αs t&,*, ! ls, · · · , lt U3"o. =HfU"o lh, J h > s. C% βjh >$ N α1, · · · , αs, βjh+1 , · · · , βjt t&. I βis = βjh , βi1 = βj1 , . . . , βis−1 = βjs−1 , βis+1 = βjs+1 , . . . , βit = βjt , J {α1, · · · , αs, βis+1 , · · · , βit } ∼= {β1, · · · , βt}. NPDK>"#*+. 3.  B α1, α2, · · · , αs  " r, αi1 , αi2 , · · · , αir 8Hf|B. ST:  α1, α2, · · · , αs >N αi1 , αi2 , · · · , αir t&%, J αi1 , αi2 , · · · , αir  α1, α2, · · · , αs Hf;t&,*B. : /" B|B, αi1 , · · · , αir b>$I α1, · · · , αs t&. !Ow7f BV , C%GeC r. <N7a 1.9 > B αi1 , · · · , αir t&,*. N^# 1.8 >8;t& ,*B. 4.  α1, α2, · · · , αt B α1, α2, · · · , αt, αt+1, αt+2, · · · , αs GeC . ST: α1, α2, · · · , αt B α1, α2, · · · , αs V. : =>1, G L(α1, · · · , αt) ⊆ L(α1, · · · , αt, αt+1, · · · , αs), Q!w7f BGeC , !O8.*t&￾pqGeCF, C%eV. 37a 1.1, >w7f Bt&V. 5.  B, v α1 0* BHf;,*B: (1) α1 = (1, −1, 2, 4), α2 = (0, 3, 1, 2), α3 = (3, 0, 7, 14), α4 = (1, −1, 2, 0), α5 = (2, 1, 5, 6); (2) α1 = (1, −1, 0, 1, 1), α2 = (2, 1, 3, −1, 0), α3 = (3, 0, 3, 0, 1), α4 = (1, −1, 1, −1, 1), α5 = (−1, −5, −6, 5, 3), α6 = (2, 1, 2, 1, 0). : (1) α1, α2, α4. (2) α1, α2, α4. 6.  B{α1, α2, · · · , αs}, {β1, β2, · · · , βt}, {α1, α2, · · · , αs, β1, β2, · · ·, βt} r1, r2, r3. ST: max {r1, r2} 6 r3 6 r1 + r2. : N< B {α1, , · · · , αs}, {β1, · · · , βt} m>N B {α1, · · · , αs, β1, · · · , βt} t&, ! r1 6 r3, r2 6 r3, C% max{r1, r2} 6 r3.  αi1 , · · · , αir1  α1, · · · , αs Hf;t&,*B, βj1 , · · · , βjr2  β1, · · · , βt Hf;t&, *B, J {α1, , · · · , αs, β1, · · · , βt} ∼= {αi1 , · · · , αir1 , βj1 , · · · , βjr2 }, #$ r3 = rank{αi1 , · · · , αir1 , βj1 , · · · , βjr2 } 6 r1 + r2. 7.  B {α1, α2, · · · , αs}, {β1, β2, · · · , βs}, {α1 + β1, α2 + β2, · · · , αs + βs}   r1, r2, r3. ST: r3 6 r1 + r2. : !" {α1 + β1, · · · , αs + βs} >N {α1, · · · , αs, β1, · · · , βs} t&, !O8 r3 6 rank{α1, · · · , αs, β1, · · · , βs} 6 rank{α1, · · · , αs} + rank{β1, · · · , βs} = r1 + r2. · 2 ·