8.设向量组a1,2,…,0,的秩为r,a1,aa,·,am为它的一个部分组.证明 rank{a1,aa,…,a4n}≥r+m-s. 证明设a1,…,m的秩等于t则它的一个极大无关组0，…，a是1，…，a。的线性无关组 它可被扩充为1，…，a,的一个极大线性无关组。而这些扩充的向量不可能是α1，…，am的向量。否 则与极大无关组矛盾.而1，…，a,中共有s一m个不属于a,…,an的向量，其中选出r一t个不同 的向量添加到，…，0，以生成a,…,的一个极大线性无关组，从而 r-t≤s-m 移项得 Tank{ai,··,ai=t≥T+m-8. 9.已知两个向量组有相同的秩，且其中一个可以被另一个线性表示.证明：这两个向量组等价 证明设向量组四)可被向量组（四）线性表示，它们生成的线性子空间分别记为L1,L2.则L1二L2, 又因它们有相同的秩，因此它们生成的线性子空间有相同的维数，从而工-L2,即（四与（四）等价 习题4-2 1.求下列矩阵的秩 14100 /21112 3242 1041 (1) (2) 4113 1-11-5 2371/ 208-2/ /1001 /2031-1 010-1 1 12121 (3) 1-11 ( 3-250-3 00 1 1 -1 1023 2.求下列向量组的秩与极大线性无关组： ()a1=3.2,-1,-3,-2,a2=2,-1,3,1,-3,g=(1,-4,7,5,40,04=(1,-7,11,9,5) (20m=(1,-1,1,1,1),02=(1,1,-1,1,1),a3=(1,1,1,-1,1),a4=(1,1,1,1,-1),5= (1,1,1,1.1 (3)a1=(2,-1,3,-2,40,a2=(4,-2,5,1,7),a3=(2,-1,1,8,2),a4=(2,-1,2,3,3: (4④4=(1,3,3,5).2=(3,2，-5,1)3=(2,3.0,4，a4=(5,4,-7,1),as=(3,5,1,7 解：(1)秩4，a1,a2,a3,a4 (2)秩5，a1,a2,a3a4,a5 (3)跌2.a1.a2. (4)秩3，a1,2,a4. 3求向量组a1=(-3,1,1,1),a2=(1,-3,1,1),a3=(1,1,-3,1,a4=(1,1,1,-3)的所有极大线 性无关组 解：任意3个向量都构成极大线性无关组。 4.求下列向量组所张成的子空间的基与维数 (1)a1=(4,-5,2,6,a2=(2,1,3,2,ag=(2,-6,-1,4),4=(2,13,5,-6 3 8.  B α1, α2, · · · , αs  " r, αi1 , αi2 , · · · , αim "8Hf|B. ST: rank{αi1 , αi2 , · · · , αim} > r + m − s. :  αi1 , · · · , αim  V< t, J8Hf;,*B αj1 , · · · , αjt  α1, · · · , αs t&,*B, 8>I0" α1, · · · , αs Hf;t&,*B, %wH0 U>c αi1 , · · · , αim  , ) JB;,*B45. % α1, · · · , αs (G s − m fU< αi1 , · · · , αim  , <{% r − t fUC  T αj1 , · · · , αjt $* α1, · · · , αs Hf;t&,*B, C% r − t 6 s − m, 9:P rank{αi1 , · · · , αim} = t > r + m − s. 9. 7f BGeC , ?<Hf>$IHft&. ST: w7f BV. :  B(I) >I B(II) t&, 8*t&￾pq"L1, L2. J L1 ⊆ L2. Q!8GeC , !O8*t&￾pqGeCF, C% L1 = L2,  (I) B (II) V.
4–2 1. s]^ : (1)   1 4 10 0 3 2 4 2 4 1 1 3 2 3 7 1   (2)   2 1 11 2 1 0 4 −1 1 −1 1 −5 2 0 8 −2   (3)   1 0 0 1 1 0 1 0 −1 1 1 −1 1 3 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3   (4)   2 0 3 1 −1 1 2 1 2 1 3 −2 5 0 −3 −1 1 0 2 3   : (1) 2; (2) 2; (3) 4; (4) 3. 2. s B B;t&,*B: (1) α1 = (3, 2, −1, −3, −2), α2 = (2, −1, 3, 1, −3), α3 = (1, −4, 7, 5, 4), α4 = (1, −7, 11, 9, 5); (2) α1 = (1, −1, 1, 1, 1), α2 = (1, 1, −1, 1, 1), α3 = (1, 1, 1, −1, 1), α4 = (1, 1, 1, 1, −1), α5 = (1, 1, 1, 1.1); (3) α1 = (2, −1, 3, −2, 4), α2 = (4, −2, 5, 1, 7), α3 = (2, −1, 1, 8, 2), α4 = (2, −1, 2, 3, 3); (4) α1 = (1, 3, 3, 5), α2 = (3, 2, −5, 1), α3 = (2, 3, 0, 4), α4 = (5, 4, −7, 1), α5 = (3, 5, 1, 7). : (1) 4, α1, α2, α3, α4. (2) 5, α1, α2, α3, α4, α5. (3) 2, α1, α2. (4) 3, α1, α2, α4. 3 s B α1 = (−3, 1, 1, 1), α2 = (1, −3, 1, 1), α3 = (1, 1, −3, 1), α4 = (1, 1, 1, −3) #G;t &,*B. : ￾
3 f mu*;t&,*B. 4. s B#.*￾pqzBF: (1) α1=(4, −5, 2, 6), α2=(2, 1, 3, 2), α3=(2, −6, −1, 4), α4=(2, 13, 5, −6); · 3 ·