(2)1=(1,0,0,1,-1),a2=(0,1,0,2,1),03=(0.0,1,-1,-2,a4=(1,1,1,2,-2). 解(1)维数3，基a1,a2,a4 (2)维数3，基1,2,3 5.求下列矩阵的秩 1 aa a () a2b1a2b2…a2b (②) a1a…aa 解：（①）因为此矩阵的子意两行都线性相关，因此秩≤1.而此矩阵的秩等于0的充分必要条件是所 有的ab=0.如(a1,…,an)≠0，则必有(b1,…,bn)=0,如(b1,…,bn)≠0则必有(a1,…,an)=0. 因此当(a1…,an)=0或（亿1，…，bn)=0时，秩为0，否则，秩为1. (②)当a=1时，秩为1当a=1元时，秩为n-1(n>1片其余情形，秩为n 6.设 W={a1,…,a,0,…,0)Ta∈K,i=1…,r}Km 证明：dimW=r 证明：设 11= 则1，a2,…,a,线性无关，且对子意的 0 有a=a1a1+…+a,a,所以dimW=r 7.设a1,2,…,a,线性无关=a6=l,令A=(a证明 rank{,2,·,3}=rank A. 证明：(设3，…，是，…，3的一个极大线性无关组。考察A的列向量组1，…，则 (g…月.)=(1…ah1…) 如果宫=0，则 (k (…月) =(a1…a)h1…) =0 k 即名=0由于…，8线性无关因此=…==0，即，…m线性无关所以 rank(4≥t=ank{,…,d,}(2) α1 = (1, 0, 0, 1, −1), α2 = (0, 1, 0, 2, 1), α3 = (0, 0, 1, −1, −2), α4 = (1, 1, 1, 2, −2). : (1) F 3, z α1, α2, α4. (2) F 3, z α1, α2, α3. 5. s]^ : (1)   a1b1 a1b2 · · · a1bn a2b1 a2b2 · · · a2bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . anb1 anb2 · · · anbn   ; (2)   1 a a · · · a a a 1 a · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a a · · · a 1   . : (1) !"O]^￾
7 mt&e*, !O 6 1. %O]^ V<00@&12# G aibj = 0.  (a1, · · · , an) 6= 0, J@G (b1, · · · , bn) = 0,  (b1, · · · , bn) 6= 0, J@G (a1, · · · , an) = 0. !Ob (a1, · · · , an) = 0 D (b1, · · · , bn) = 0 R, " 0, )J, " 1. (2) b a = 1 R, " 1; b a = 1 1 − n R, " n − 1 (n > 1); <$6, " n. 6.  W = {(a1, · · · , ar, 0, · · · , 0)T | ai ∈ K, i = 1, · · · , r} ⊆ Km ST: dim W = r. :  α1 =   1 0 . . . 0   , α2 =   0 1 . . . 0   , · · · , αr =   0 . . . 1 (r), . . . 0   J α1, α2, · · · , αr t&,*, ?￾
 α =   a1 . . . ar 0 . . . 0   ∈ W G α = a1α1 + · · · + arαr, #$ dim W = r. 7.  α1, α2, · · · , αr t&,*, βj = Pr i=1 aijαi (j = 1, · · · , s), I A = (aij ). ST: rank{β1, β2, · · · , βs} = rank A. : (i)  βj1 , · · · , βjt  β1, · · · , βs Hf;t&,*B.  A  B γ1, · · · , γs. J (βj1 · · · βjt ) = (α1 · · · αr)(γj1 · · · γjt ).  Pt i=1 kiγji = 0, J (βj1 · · · βjt )   k1 . . . kt   = (α1 · · · αr)(γj1 · · · γjt )   k1 . . . kt   = 0,  Pt i=1 kiβji = 0, N< βj1 , · · · , βjt t&,*, !O k1 = · · · = kt = 0,  γj1 , · · · , γjt t&,*. #$ rank(A) > t = rank{β1, · · · , βs}. · 4 ·