微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 3.对V∈卯(T∑),V业∈(T∑),有 Lv(更⑧y)=(Iv重) 4.对更∈A(T∑),V业∈A9(T∑),有 Lv{∧业)=(Lv更∧业+更∧Lv重 证明可通过直接计算,证明Le导数相关性质 1.不失一般性,假设p=2,则有 Lv(重+业)=Lva重:y+)91②9) (a;+B.)(x) o2r(a)(,+例:) (x)op1+m:1)(918g)(a) =aLv更+BLvy 2.不失一般性,假设p=2,则有 Lv(更=Lv(,j91②g)(x) a(fs m4(a)y-m(a)+m(a)0(989)a) (Lvf)更+fLv更 3.不失一般性,假设p=q=2,则有 Lv(更②业=Lv中9:g89pg9)(x) (x),p )p2 m(a)+m(),小(18g898p)(x) (Lv更)业+更⑧(Lv业) 4.考虑到 ④(+q()= nol匝更⑧重 a∈P 18…8g8g3⑧…⑧ 可有 Lv(∧业)= I[(Lv更)⑧业十更⑧(Lv重 ∑Lv+西∑(v 14微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 3. 对 ∀ Φ ∈ T p (T Σ), ∀ Ψ ∈ T q (T Σ), 有 LV (Φ ⊗ Ψ) = (LV Φ) ⊗ Ψ + Φ ⊗ LV Ψ; 4. 对 ∀ Φ ∈ Λ p (T Σ), ∀ Ψ ∈ Λ q (T Σ), 有 LV (Φ ∧ Ψ) = (LV Φ) ∧ Ψ + Φ ∧ LV Ψ. 证明 可通过直接计算, 证明 Lie 导数相关性质. 1. 不失一般性, 假设 p = 2, 则有 LV (αΦ + βΨ) = LV [(αΦi ·j + βΨi · j )(gi ⊗ g j )](x) = [ ∂ ∂xl (αΦi ·j + βΨi · j )(x)V l − ∂V i ∂xl (x)(αΦl ·j + βΨl · j ) + ∂V l ∂xj (x)(αΦi ·l + βΨi · l) ] (gi ⊗ g j )(x) = αLV Φ + βLV Ψ. 2. 不失一般性, 假设 p = 2, 则有 LV (fΦ) = LV (fΦi ·jgi ⊗ g j )(x) = [ ∂(fΦi ·j ) ∂xl (x)V l − ∂V i ∂xl (x)fΦl ·j + ∂V l ∂xj (x)fΦi ·l ] (gi ⊗ g j )(x) = (LV f)Φ + fLV Φ. 3. 不失一般性, 假设 p = q = 2, 则有 LV (Φ ⊗ Ψ) = LV (Φ i ·jΨ p · qgi ⊗ g j ⊗ gp ⊗ g q )(x) = [ ∂ ∂xl (Φ i ·jΨ p · q)(x)V l − ∂V i ∂xl (x)Φ l ·jΨ p · q + ∂V l ∂xj (x)Φ i ·lΨ p · q − ∂V p ∂xl (x)Φ i ·jΨ l · q + ∂V l ∂xq (x)Φ i ·jΨ p · l ] (gi ⊗ g j ⊗ gp ⊗ g q )(x) = (LV Φ) ⊗ Ψ + Φ ⊗ (LV Ψ). 4. 考虑到 Φ ∧ Ψ = (p + q)! p!q! A (Φ ⊗ Ψ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgnσIσ(Φ ⊗ Ψ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q Φσ(i1)···σ(ip)Ψσ(j1)···σ(jq)g i1 ⊗ · · · ⊗ g ip ⊗ g j1 ⊗ · · · ⊗ g jq , 可有 LV (Φ ∧ Ψ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q Iσ [(LV Φ) ⊗ Ψ + Φ ⊗ (LV Ψ)] = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q Iσ[(LV Φ) ⊗ Ψ] + 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q Iσ[Φ ⊗ (LV Ψ)]. 14