微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 因为 8g) 所以 (i1)…o(ip) (x)V+ ar(1)2o(i2)…o(ip) ara(ip) (x)p(a1)(ap-1) 9 因此有 Lv(更∧) I(Lv重 J匝(Lv业 Lv更)∧业+φ∧(Lv业 定理17(同伦公式).对Vu∈6(TM),有 od +doi 证明利用数学归纳法,对vf∈6∞(M),有 dz (u = iu(df), 此处定义i∫f=0.设对更∈A(TM)成立同伦公式,则当更∈A+1(TM)时有 ∧da"Ada +1 =da21∧ (+1)224+xeA…Adx2+1)=dn3Aa,a∈A(M) 计算 iu o d(dr Aws)+doiu(drs Aws)=-iu(drs a dws)+d(iudxAws-dxsAiuws (iudr )n dws +dr'niudws)+d(iudz) +iuds )n dws +dz nd(iuws (Lus)+(Lud3)∧ 上式中利用了关系式 Ludx'= u(oidz')=(Ork(z)+ azt()oint_dus auk (a)dz= du 现已证明对V更∈A+(TM,亦成立同伦公式微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 因为 LV Φ = LV (Φi1···ip g i1 ⊗ · · · ⊗ g ip ) = [ ∂Φi1···ip ∂xl (x)V l + ∂V l ∂xi1 Φli2···ip + · · · + ∂V l ∂xip (x)Φi1···ip−1l ] g i1 ⊗ · · · ⊗ g ip , 所以 Iσ(LV Φ) = [ ∂Φσ(i1)···σ(ip) ∂xl (x)V l + ∂V l ∂xσ(i1) Φlσ(i2)···σ(ip) + · · · + ∂V l ∂xσ(ip) (x)Φσ(i1)···σ(ip−1)l ] g i1 ⊗ · · · ⊗ g ip . 因此有 LV (Φ ∧ Ψ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q Iσ[(LV Φ) ⊗ Ψ] + 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q Iσ[Φ ⊗ (LV Ψ)] = (LV Φ) ∧ Ψ + Φ ∧ (LV Ψ). 定理 1.7 (同伦公式). 对 ∀u ∈ C ∞(TM), 有 Lu = iu ◦ d + d ◦ iu. 证明 利用数学归纳法, 对 ∀ f ∈ C ∞(M), 有 Luf = u(f) = u i ∂f ∂xi (x) = ∂f ∂xi dx i (u) = iu(df), 此处定义 iuf = 0. 设对 Φ ∈ Λ r (TM) 成立同伦公式, 则当 Φ ∈ Λ r+1(TM) 时有 Φ = 1 (r + 1)!Φi1···ir+1 dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx ir+1 = dx i1 ∧ ( 1 (r + 1)!Φi1i2···ir+1 dx i2 ∧ · · · ∧ dx ir+1) = dx s ∧ ωs, ωs ∈ ∧r (TM). 计算 iu ◦ d(dx s ∧ ωs) + d ◦ iu(dx s ∧ ωs) = −iu(dx s ∧ dωs) + d(iudx s ∧ ωs − dx s ∧ iuωs) = −(iudx s ) ∧ dωs + dx s ∧ (iudωs) + d(iudx s ) ∧ ωs + (iudx s ) ∧ dωs + dx s ∧ d(iuωs) = dx s ∧ (iu ◦ dωs + d ◦ iuωs) + du s ∧ ωs = dx s ∧ (Luωs) + (Ludx s ) ∧ ωs = Lu(dx s ∧ ωs). 上式中利用了关系式 Ludx s = Lu(δ s t dx t ) = ( u k ∂δs t ∂xk (x) + ∂uk ∂xt (x)δ s k ) dx t = ∂us ∂xt (x)dx t = du s . 现已证明对 ∀ Φ ∈ Λ r+1(TM), 亦成立同伦公式. 15