微分流形上微分学—流形上的微分运算一Le导数 谢锡麟 1.22Lie导数的代数结构 定理18.令[Lu,L]LuoL-LLu,则有 ILu, Lo, Lu+ILo, Lu, Lu+ILu, Lu, Lu=0 证明首先,证明结论对于标量函数∫∈6∞(∑)是成立的 1.根据定义 Lu, Luf=(Luo o Lu)f, 其中 Luo Luf= lu i af (a)+w zi 02, 故有 LLu, Luf aul lu, ul() 所以 2.根据定义,有 ILu, Lu, LuIf=[Lu, Ly]o Luf-[Lu, Lulf lu, ulw(f))-Lw(lu, uf) uovow-vouow)f-wouov-wovou)f (uovow-vouow-wouov+wotou)f 同理有 [Lu, Lw], Luf=(vowou-wovou-uovow+uowou)f, [L,La,Llf=(ouov-u°ov-v。wow+vou。)∫ 所以有 [LLu, Lu, Lu+[Lu, Lu, Lu]+[Lw, Lu, Lu]=0 其次,证明结论对于向量值函数Z=z91也是成立的微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 1.2.2 Lie 导数的代数结构 定理 1.8. 令 [Lu, Lv] , Lu ◦ Lv − Lv ◦ Lu, 则有 1. [Lu, Lv] = −[Lv, Lu]; 2. [[Lu, Lv], Lw] + [[Lv, Lw], Lu] + [[Lw, Lu], Lv] = 0. 证明 首先, 证明结论对于标量函数 f ∈ C ∞(Σ) 是成立的. 1. 根据定义 [Lu, Lv]f = (Lu ◦ Lv − Lv ◦ Lu)f, 其中 Lu ◦ Lvf = Lu ( v i ∂f ∂xi (x) ) = u j ∂ ∂xj ( v i ∂f ∂xi (x) ) (x) = u j ∂vi ∂xj (x) ∂f ∂xi (x) + u j v i ∂ 2f ∂xj∂xi (x). 故有 [Lu, Lv]f = ( u j ∂vi ∂xj − v j ∂ui ∂xj ) (x) ∂f ∂xi (x) = [u, v](f) = L[u,v]f. 所以 [Lu, Lv]f = −[Lv, Lu]f. 2. 根据定义, 有 [[Lu, Lv], Lw]f = [Lu, Lv] ◦ Lwf − Lw ◦ [Lu, Lv]f = [u, v](w(f)) − Lw([u, v]f) = (u ◦ v ◦ w − v ◦ u ◦ w)f − (w ◦ u ◦ v − w ◦ v ◦ u)f = (u ◦ v ◦ w − v ◦ u ◦ w − w ◦ u ◦ v + w ◦ v ◦ u)f. 同理有 [[Lv, Lw], Lu]f = (v ◦ w ◦ u − w ◦ v ◦ u − u ◦ v ◦ w + u ◦ w ◦ v)f, [[Lw, Lu], Lv]f = (w ◦ u ◦ v − u ◦ w ◦ v − v ◦ w ◦ u + v ◦ u ◦ w)f. 所以有 [[Lu, Lv], Lw] + [[Lv, Lw], Lu] + [[Lw, Lu], Lv] = 0. 其次, 证明结论对于向量值函数 Z = Z igi 也是成立的. 16