422 工程科学学报，第44卷，第3期 因此，本文为了解决机器人在变刚度地面行 前后腿①、④的足部到各自髋关节部分的等效虚 进过程中易出现的姿态角偏差的问题，力图在足 拟弹簧腿的刚度和阻尼；0pih、0()和04()分别是 端着地时采用合理有效的调节腿部刚度的方法对 机身俯仰角以及前后虚拟弹簧腿的等效摆角；发 机身翻转量进行补偿，通过提出一种腿部主动变 生柔性接触的前后足端与各自所处表面可视为两 刚度调节策略，在着地时检测机身姿态的变化量， 个弹簧串联的物理等效模型.于是可以得到，k1、 同时估计着地腿与地面的耦合刚度，根据前后两 k4、C1、c4分别是虚拟弹簧腿①、④与各自着地面 着地腿与所接触地面耦合刚度差，将差值补偿到 的耦合刚度和耦合阻尼.其中，耦合刚度k1、k4计 相关支撑腿刚度计算公式中，得到的力矩用以驱 算公式如下： 动机器人各着地腿对应的膝关节转动，从而改变 k1= kiegiksoft (1) 足端反作用力的大小，以此实现对机身姿态偏移 kleg1 +ksoft 纠正的目的，同时得到了更加适用于在软硬地面 Kleg4Khard 稳定过渡的控制策略 k4二kiegt+kad (2) 1对角双足支撑下的足-地耦合动力学 由式(1)人、(2)可知，前后支撑的虚拟腿刚度一 致时，若两着地面的地面刚度差异较大，前后腿的 拥有腾空相的对角小跑步态高度对称并具有 足-地耦合刚度也会随之不同 较快的速度，在马、狗等四足哺乳动物中常见.本 机器人在此情况下的着地相运动方程为： 文对四足机器人以对角步态在软硬程度不同的变 maz k4x4cos(04(t))+k1x1 cos(01 (t))-mg (3) 刚度地面间的过渡情形进行了研究.当机器人 以对角双足支撑着地时，由于支撑腿的前摆髋关 Jay=kax4 cos(0a()-Opitch)-k cos(0()-Opitch) (4) 节的反作用力导致机器人绕自身对角线发生偏 转，机身姿态角会出现偏差.如图1所示，机器人 式(3)、(4)中，a、g分别是机器人质心加速度 以对角步态在软硬程度不同的变刚度地面间进行 在垂直方向上的分量以及地球的重力加速度， 跨越运动，此时，前腿(Front leg)和后腿(Hind a是俯仰角加速度，其数值的测定采用了近似的 leg)的足部会分别落在较软的前着地面(Front 思想，即俯仰角Och对时间的二阶导.x1、x4是前 ground)和硬质的后着地面(Hind ground).前腿支 后支撑腿与各自着地面的等效压缩量.由于两足 撑在软性地面，后腿支撑在硬质地面.本文研究的 端受到地面反作用力的不同，会造成等效压缩量 重点在于其中一对支撑对角腿①、④对机体姿态 存在区别，支撑腿长的不等导致机身出现翻滚，因 的调节作用，因此将腾空的另外一对对角腿②、 此产生了姿态偏差的问题 ③并未画出 2四足机器人腾空相控制 Raibert!2教授针对足式机器人的动态运动，提 m.J 出了著名的“三分法”解耦控制的理念，分别是前 Hind leg- Front leg 进速度、跳跃高度以及身体姿态 9.(t) 对于前进速度的控制，机器人足端在腾空结 G 束后的触地位置直接影响了后续着地状态下的加 Hind ground Bound line Front ground 速度.因此，为了达到使机器人加速或减速的目 图1在变刚度地面上的姿态偏转 的，控制系统引入了不对称性，以调节前进速度大 Fig.I Attitude deflection on the ground with variable stiffness 小，使其能从一种前进速度变化到另一种前进速 图1中，坐标系{GXYZ是固定在地面的全局 度.如图2所示，各个腿的序号依次是①、②、③、 坐标系，坐标轴X的正向是机器人的水平前进方 ④，其中①、④互为对角腿，②、③是另一对. 向，坐标轴Z的负向与地球重力加速度g的方向 ④ 一致，采用右手定则确定第三个坐标轴Y的方向 L、m、J分别是机器人纵向体长、质量以及机身转 ③ 动惯量；khardksoft、Chard、Con分别是硬质表面与软 图2各腿序号 性表面的刚度和阻尼；kegl、keg+、Clegl、ceg4分别是 Fig.2 Serial number of each leg因此，本文为了解决机器人在变刚度地面行 进过程中易出现的姿态角偏差的问题，力图在足 端着地时采用合理有效的调节腿部刚度的方法对 机身翻转量进行补偿，通过提出一种腿部主动变 刚度调节策略，在着地时检测机身姿态的变化量， 同时估计着地腿与地面的耦合刚度，根据前后两 着地腿与所接触地面耦合刚度差，将差值补偿到 相关支撑腿刚度计算公式中，得到的力矩用以驱 动机器人各着地腿对应的膝关节转动，从而改变 足端反作用力的大小，以此实现对机身姿态偏移 纠正的目的，同时得到了更加适用于在软硬地面 稳定过渡的控制策略. 1    对角双足支撑下的足−地耦合动力学 拥有腾空相的对角小跑步态高度对称并具有 较快的速度，在马、狗等四足哺乳动物中常见. 本 文对四足机器人以对角步态在软硬程度不同的变 刚度地面间的过渡情形进行了研究. 当机器人 以对角双足支撑着地时，由于支撑腿的前摆髋关 节的反作用力导致机器人绕自身对角线发生偏 转，机身姿态角会出现偏差. 如图 1 所示，机器人 以对角步态在软硬程度不同的变刚度地面间进行 跨 越 运 动 ， 此 时 ， 前 腿 (Front  leg) 和 后 腿 (Hind leg) 的足部会分别落在较软的前着地 面 (Front ground) 和硬质的后着地面 (Hind ground). 前腿支 撑在软性地面，后腿支撑在硬质地面. 本文研究的 重点在于其中一对支撑对角腿①、④对机体姿态 的调节作用，因此将腾空的另外一对对角腿②、 ③并未画出. θpitch θ4 (t) θ1 (t) Hind leg k4 khard chard csoft ksoft cleg4 kleg4 cleg1 c1 kleg1 c k1 4 Z X Y G Hind ground Bound line Front ground Front leg m, J L 图 1    在变刚度地面上的姿态偏转 Fig.1    Attitude deflection on the ground with variable stiffness 图 1 中，坐标系{GXYZ}是固定在地面的全局 坐标系，坐标轴 X 的正向是机器人的水平前进方 向，坐标轴 Z 的负向与地球重力加速度 g 的方向 一致，采用右手定则确定第三个坐标轴 Y 的方向. L、m、J 分别是机器人纵向体长、质量以及机身转 动惯量；khard、ksoft 、chard、csoft 分别是硬质表面与软 性表面的刚度和阻尼；kleg1、kleg4、cleg1、cleg4 分别是 前后腿①、④的足部到各自髋关节部分的等效虚 拟弹簧腿的刚度和阻尼；θpitch、θ1 (t) 和 θ4 (t) 分别是 机身俯仰角以及前后虚拟弹簧腿的等效摆角；发 生柔性接触的前后足端与各自所处表面可视为两 个弹簧串联的物理等效模型. 于是可以得到，k1、 k4、c1、c4 分别是虚拟弹簧腿①、④与各自着地面 的耦合刚度和耦合阻尼. 其中，耦合刚度 k1、k4 计 算公式如下： k1 = kleg1ksoft kleg1 +ksoft （1） k4 = kleg4khard kleg4 +khard （2） 由式 (1)、(2) 可知，前后支撑的虚拟腿刚度一 致时，若两着地面的地面刚度差异较大，前后腿的 足−地耦合刚度也会随之不同. 机器人在此情况下的着地相运动方程为： maz = k4 x4 cos(θ4 (t))+k1 x1 cos(θ1 (t))−mg （3） Jαy = k4 x4 L 2 cos( θ4 (t)−θpitch) −k1 x1 L 2 cos( θ1 (t)−θpitch) （4） 式 (3)、(4) 中，az、g 分别是机器人质心加速度 在垂直方向上的分量以及地球的重力加速度 ， αy 是俯仰角加速度，其数值的测定采用了近似的 思想，即俯仰角 θpitch 对时间的二阶导. x1、x4 是前 后支撑腿与各自着地面的等效压缩量. 由于两足 端受到地面反作用力的不同，会造成等效压缩量 存在区别，支撑腿长的不等导致机身出现翻滚，因 此产生了姿态偏差的问题. 2    四足机器人腾空相控制 Raibert[28] 教授针对足式机器人的动态运动，提 出了著名的“三分法”解耦控制的理念，分别是前 进速度、跳跃高度以及身体姿态. 对于前进速度的控制，机器人足端在腾空结 束后的触地位置直接影响了后续着地状态下的加 速度. 因此，为了达到使机器人加速或减速的目 的，控制系统引入了不对称性，以调节前进速度大 小，使其能从一种前进速度变化到另一种前进速 度. 如图 2 所示，各个腿的序号依次是①、②、③、 ④，其中①、④互为对角腿，②、③是另一对. ④ ③ ② ① 图 2    各腿序号 Fig.2    Serial number of each leg · 422 · 工程科学学报，第 44 卷，第 3 期