三、典型例题解析 例1求∬Va-x产-k,其中D={x,川x2+y广≤d,x20,y20,a>0 分析fxy)=√层-y严在D上非负，如图8-1所示，其 对应图形是以原点为中心、a为半径的上半球面：D是以xOy面上 原点为中心、α为半径的圆域在第一象限的部分.根据被积函数和 积分区域的特点，可考虑用几何意义或极坐标进行计算. 解法1根据二重积分的几何意义，川√后-x2-少d就是 图8-1 以原点为中心、α为半径的球体在第一卦限部分的体积，所以 解法2采用极坐标直接进行计算。 令x=pcos8,y=psin,则D=(x,0≤p≤a,0s0s ∬F-x-y=∬匠-pdpd0=-aoa-pdd2-p) =d-pr=(孕（号=a 例2设积分区域D由圆(x-2y+心-1=1所围成，且1=∬x+y旷d(k=L2,3), 则(. A.1>12>1.B.1<12<1,.C.1>1,>2. D.1>1>12 分析要比较二重积分值的大小，根据性质4，是要对 不同的被积函数在积分区域上进行比较. -26-=1 解选B.如图8-2所示，当(K)eD时，1≤x≤3， 0≤y≤2.因此，1≤x+y≤5，故有 Is(x+y)s(x+y)s(x+y), 由二重积分的性质即得1<1<： 图8-2 倒3设D=红水+广sr}.试计算极限m守eco+ 分析此题若先求二重积分，再求极限比较困难，可以考虑借助积分中值定理米求解。 解区域D的面积为Sn=2.因为fx,)=e-yco0s(x+)在闭区域D上连续，由积 分中值定理可知，至少存在一点（传，）eD,使得 三、典型例题解析 例1 求 2 2 2 D a x y dxdy − −  ，其中 2 2 2 D x y x y a x y a = +     {( , ) | , 0, 0, 0}． 分析 2 2 2 f x y a x y ( , ) = − − 在 D 上非负，如图 8－1 所示，其 对应图形是以原点为中心、 a 为半径的上半球面； D 是以 xOy 面上 原点为中心、 a 为半径的圆域在第一象限的部分．根据被积函数和 积分区域的特点，可考虑用几何意义或极坐标进行计算． 解法 1 根据二重积分的几何意义， 2 2 2 D a x y dxdy − −  就是 以原点为中心、 a 为半径的球体在第一卦限部分的体积，所以 2 2 2 3 3 1 4 1 8 3 6 D a x y dxdy a a − − =  =    ． 解法 2 采用极坐标直接进行计算． 令 x y = =     cos , sin , 则 {( , ) | 0 ,0 } 2 D x y a  =       ． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 2 a D D a x y dxdy a d d d a d a  − − = − = − − −            3 2 2 2 0 1 2[ ( ) ] 2 2 3 a a  = −  −  2 1 3 3 ( ) ( ) 4 3 6 a a  = −  − =  ． 例 2 设积分区域 D 由圆 2 2 ( 2) ( 1) 1 x y − + − = 所围成，且 ( ) ( 1,2,3) k k D I x y dxdy k = + =  ， 则（ ）． A． 1 2 3 I I I   ． B． 1 2 3 I I I   ． C． 1 3 2 I I I   ． D． 3 1 2 I I I   ． 分析 要比较二重积分值的大小，根据性质 4，是要对 不同的被积函数在积分区域上进行比较． 解 选 B．如图 8－2 所示，当 ( , ) x y D 时， 1 3   x ， 0 2  y ．因此， 1 5,  +  x y 故有 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ,  +  +  + x y x y x y 由二重积分的性质即得 1 2 3 I I I   ． 图 8－2 例 3 设   2 2 2 D x y x y r = +  ( , ) ．试计算极限 2 2 2 0 1 lim cos( ) x y r D e x y dxdy  r + − → +  ． 分析 此题若先求二重积分，再求极限比较困难，可以考虑借助积分中值定理来求解． 解 区域 D 的面积为 2 D S r =  ．因为 2 2 ( , ) cos( ) x y f x y e x y − = + 在闭区域 D 上连续，由积 分中值定理可知，至少存在一点 ( , ) ,    D 使得 o x y 1 2 1 2 2 2 ( 2) ( 1) 1 x y − + − = o x y z a a a D 图 8－1