小e2camr+h-之coG+5-eoG+ 令r→0，则(5，)→0,0)，故 p∬ecox+h=6 mcod5+》l. 例4利用重积分的性质估计积分I-川10o+cosx+os丁6的值，其中 D={(x,y)川+b以≤10. 分析根据二重积分的性质对被积函数在积分区域上进行估计. 解法1利用被积函数在积分区域上的单调性估值。积分区域如 图8-3所示.由于 0≤c0s2x≤1,0≤c0s2v≤1 故有100≤100+cos2x+cos2y≤102，因此 图8-3 1 102≤i100+c0s'x+cos'y100 区域D的面积。=200，根据二重积分的性质可知 200 解法2利用二重积分的中值定理估值.由于被积函数在区域D上连续，故在D上至少 存在-点(5小.使得1m+o+7”,又因为 1025100+cs5+es7510a=20, 例5将二重积分1=∬化为二次积分，其中区域D: (1)由抛物线y=x2-1及直线y=1-x所围成： (2)由x=0与曲线y=x2+1以及y=2x所围成. 解(1)区域D如图8一4所示，下面用两种方法来求解。 解法1若将区域D看作X-型区域，即先对y积分。 再对x积分，首先将区域D向x轴投影，得x轴上的区间 [-2,则变量x满足-2≤x≤1，过区间-2，刂上的任一点x作 平行于y轴的直线由下往上穿过区域D,穿入D时经过的边 界曲线方程为y=x2-1,穿出D时经过的边界曲线方程为 y=1-x则y满足-1≤y≤1-x,即2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 cos( ) cos( ) cos( ) x y D D e x y dxdy e S e r r           − − − + = +  = +  ． 令 r 0 → +，则 ( , ) (0,0)   → ，故 2 2 2 0 1 lim cos( ) x y r D e x y dxdy  r + − → +  = 2 2 ( , ) (0,0) lim cos( ) e       − → + =1． 例 4 利用重积分的性质估计积分 2 2 1 100 cos cos D I d x y =  + +  的值，其中 D x y x y = +  {( , ) | 10}． 分析 根据二重积分的性质对被积函数在积分区域上进行估计． 解法 1 利用被积函数在积分区域上的单调性估值．积分区域如 图 8－3 所示．由于 2 0 cos 1  x ， 2 0 cos 1  y ， 故有 2 2 100 100 cos cos 102,  + +  x y 因此 图 8－3 2 2 111 102 100 cos cos 100 x y   + + ， 区域 D 的面积  = 200, 根据二重积分的性质可知 100 200 200 2. 51 102 100 =   = I 解法 2 利用二重积分的中值定理估值．由于被积函数在区域 D 上连续，故在 D 上至少 存在一点 ( , )   ，使得 2 2 1 100 cos cos I    = + + ，又因为 2 2 111 , 102 100 cos cos 100     + +  = 200, 所以 100 200 200 2 51 102 100 =   = I ． 例 5 将二重积分 ( , ) D I f x y dxdy =  化为二次积分，其中区域 D ： （1）由抛物线 2 y x = −1 及直线 y x = −1 所围成； （2）由 x = 0 与曲线 2 y x = +1 以及 y x = 2 所围成． 解 （1）区域 D 如图 8－4 所示．下面用两种方法来求解． 解法 1 若将区域 D 看作 X − 型区域，即先对 y 积分， 再对 x 积分，首先将区域 D 向 x 轴投影，得 x 轴上的区间 [ 2,1], − 则变量 x 满足 −   2 1, x 过区间 [ 2,1] − 上的任一点 x 作 平行于 y 轴的直线由下往上穿过区域 D ，穿入 D 时经过的边 界曲线方程为 2 y x = −1 ，穿出 D 时经过的边界曲线方程为 y x = −1 , 则 y 满足 2 x y x −   − 1 1 ，即 图 8－4 1 2 −2 −1 −1 2 1 o x y y x = −1 2 y x = −1 o x y 10 10 10 10