D={,川x2-1≤y≤1-x-2≤x≤ 于是 I=∬fxy=∫，fx,y 解法2若将区域D看作Y一型区域，即先对x积分，再对y积分，用上述“穿线法” 时注意到当y在[-1,3引中变化时，穿出时经过的边界曲线有两条，因此需要把D划分为两部 分 D={xy川-+isx≤+，-1sy≤03，D,={x,y川-√y+1≤x≤1-y,0≤y≤3， 则有D=DUD,于是 1=/chd=fc,+nf压达 (2)区域D如图8一5所示.下面用两种方法求解。 解法1若将区域D看作X-型区域，则有 D={xl2x≤y≤x2+l,0≤x≤1， 于是 1=j∬fx,d=广fx,y 解法2若将区域D看作Y-型区域，则D=D,UD,其中 D={x,川0≤x≤号，0≤y≤，D=x,川-可≤x≤51≤y≤2 1=j∬fx,hd=fx,+∫ffxy 注化二重积分为二次积分是计算二重积分的关键，难点在于确定二次积分的上、下限， 通常采用“穿线法”： 如果区域D是X一型区域，则要先对y积分后对x积分，即先将积分区域投影在x轴上， 得到x的变化范围，在其上任取x点作平行于y轴的直线，由下向上穿过区域D,则可以得 到y的变化范围，从而得到二次积分的上、下限. 如果区域D是Y-型区域，则要先对x积分后对y积分，即先将积分区域投影在y轴上， 得到y的变化范围，在其上任取y点作平行于x轴的直线，由左向右穿过区域D,则可以得 到x的变化范围。 如果D既不是X-型区域，又不是Y-型区域，则需要添加辅助线，将D分成一些X 型区域和Y-型区域分别计算，然后利用积分区域可加性即可. 化二重积分为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常 数，而外层积分的上、下限一定为常数. 2 D x y x y x x = −   − −   {( , ) | 1 1 , 2 1}， 于是 2 1 1 2 1 ( , ) ( , ) x x D I f x y dxdy dx f x y dy − − − = =    ． 解法 2 若将区域 D 看作 Y −型区域，即先对 x 积分，再对 y 积分，用上述“穿线法” 时注意到当 y 在 [ 1,3] − 中变化时，穿出时经过的边界曲线有两条，因此需要把 D 划分为两部 分 1 D x y y x y y = − +   + −   {( , ) | 1 1, 1 0}, 2 D x y y x y y = − +   −   {( , ) | 1 1 ,0 3}, 则有 D D D = 1 2 ，于是 ( , ) D I f x y dxdy =  0 1 3 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) y y y y dy f x y dx dy f x y dx + − − − + − + = +     ． （2）区域 D 如图 8－5 所示．下面用两种方法求解． 解法 1 若将区域 D 看作 X − 型区域，则有 D = 2 {( , ) | 2 1,0 1}, x y x y x x   +   于是 ( , ) D I f x y dxdy =  2 1 1 0 2 ( , ) x x dx f x y dy + =   ． 解法 2 若将区域 D 看作 Y − 型区域，则 D D D = 1 2 ，其中 1 {( , ) | 0 ,0 1}, 2 y D x y x y =     2 {( , ) | 1 ,1 2}, 2 y D x y y x y = −     则 ( , ) D I f x y dxdy =  1 2 2 2 0 0 1 1 ( , ) ( , ) y y y dy f x y dx dy f x y dx − = +     ． 注 化二重积分为二次积分是计算二重积分的关键，难点在于确定二次积分的上、下限， 通常采用“穿线法”： 如果区域 D 是 X − 型区域，则要先对 y 积分后对 x 积分，即先将积分区域投影在 x 轴上， 得到 x 的变化范围，在其上任取 x 点作平行于 y 轴的直线，由下向上穿过区域 D ，则可以得 到 y 的变化范围，从而得到二次积分的上、下限． 如果区域 D 是 Y −型区域，则要先对 x 积分后对 y 积分，即先将积分区域投影在 y 轴上， 得到 y 的变化范围，在其上任取 y 点作平行于 x 轴的直线，由左向右穿过区域 D ，则可以得 到 x 的变化范围． 如果 D 既不是 X − 型区域，又不是 Y − 型区域，则需要添加辅助线，将 D 分成一些 X − 型区域和 Y −型区域分别计算，然后利用积分区域可加性即可． 化二重积分为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常 数，而外层积分的上、下限一定为常数． 2 y x = +1 o x y 1 2 1 2 y x = 2 图 8－5