例6交换下列二重积分的次序： )(o1研)1=fx: (2)4=恤 3)1=fw+w 解(1)由已知的二次积分可知，积分区域为 D={x,y川1-y≤x≤2，-1≤y≤0： 如图8一6阴影部分所示.按照新的积分次序，即先对y后对x积 分，由穿线法可得 D={(xy川l-x≤y≤0,1≤x≤2， 于是 图8-6 1=-,fxh=心fx, (2)由己知的二次积分可知，积分区域为 D={x,-4-y≤x≤4y-y,0≤y≤4. 画出积分区域D,如图8一7所示，按照新的积分次序，即先对 4 y后对x积分，由穿线法可得 D={(x,y川0≤y≤4-x2,-2≤x≤0， 图B D,={x川2-4-F≤y≤2+4-F0≤x≤25 于是 r. (3)由己知的二次积分可知，积分区域 D={x,y10≤y≤V2x-x,0≤x≤l. D={x,)川0≤y≤2-x,1≤x≤2， 画出积分区域D如图8一8所示，按照新的积分次序，即先对x 后对y积分，由穿线法可得 D={xy川1-√-yF≤x≤2-y0≤y≤1， 图8一8 于是 ⅓=x, 注交换二次积分的积分次序的一般步骤为： (1)根据己知的二次积分的上、下限画出积分区域D的草图： (2)交换积分次序，利用“穿线法”得到积分区域D的新的描述方法： (3)写出交换次序后的二次积分.例 6 交换下列二重积分的次序： （1）（01 研） 0 1 1 1 2 ( , ) y I dy f x y dx − − =   ； （2） 2 4 4 2 0 4 ( , ) y y y I dy f x y dx − − − =   ； （3） 2 1 2 2 2 3 0 0 1 0 ( , ) ( , ) . x x x I dx f x y dy dx f x y dy − − = +     解 （1）由已知的二次积分可知，积分区域为 D x y y x y = −   −   {( , ) |1 2, 1 0}， 如图 8－6 阴影部分所示．按照新的积分次序，即先对 y 后对 x 积 分，由穿线法可得 D x y x y x = −     {( , ) |1 0,1 2}， 于是 0 2 1 1 1 ( , ) y I dy f x y dx − − = −  2 0 1 1 ( , ) x dx f x y dy − = −  ． 图 8－6 （2）由已知的二次积分可知，积分区域为 2 D x y y x y y y = − −   −   {( , ) | 4 4 ,0 4}, 画出积分区域 D ，如图 8－7 所示，按照新的积分次序，即先对 y 后对 x 积分，由穿线法可得 2 1 D x y y x x =   − −   {( , ) | 0 4 , 2 0}, 2 2 2 D x y x y x x = − −   + −   {( , ) | 2 4 2 4 ,0 2}, 图 8－7 于是 2 2 2 0 4 2 2 4 2 2 0 0 2 4 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy − + − − − − = +     ． （3）由已知的二次积分可知，积分区域 2 1 D x y y x x x =   −   {( , ) | 0 2 ,0 1}, 2 D x y y x x =   −   {( , ) | 0 2 ,1 2}, 画出积分区域 D 如图 8－8 所示，按照新的积分次序，即先对 x 后对 y 积分，由穿线法可得 2 D x y y x y y = − −   −   {( , ) |1 1 2 ,0 1}, 图 8－8 于是 2 1 2 3 0 1 1 ( , ) y y I dy f x y dx − − − =   ． 注 交换二次积分的积分次序的一般步骤为： （1）根据已知的二次积分的上、下限画出积分区域 D 的草图； （2）交换积分次序，利用“穿线法”得到积分区域 D 的新的描述方法； （3）写出交换次序后的二次积分． x y o y x = −2 2 2 ( 1) 1 x y − + = 1 2 1 2 x y o 4 −2 2 2 y x = −4 2 2 x y + − = ( 2) 4 −1 1 2 o x y 1 −1 2