例7求de 分析这是一个先对y后对x的二次积分，由于∫e山不能用初等 函数表示，因此无法直接计算。可考虑先交换积分次序再计算。 解法1积分区域D,如图8一9所示。交换积分次序，则 D={(x川I0≤x≤y,0≤y≤2 图8 从而 [dedy =fdy[evdx=fyedy=-1-e) 解法2利用分部积分法。 心aier=[ferd-aerj =er=,l-e). 分次序. 例8设函数fx)在区间0，上连续，并设∫fx达=A,求1=∫fx)f: 解法11=dfxy)d=fxf0yd,其中 D=(xsys10sxsl), 如图8一10所示，设D关于y=x对称的区域为D,则 D=[0sysx,0sxsl. 对换x、y,被积函数x)不变，则有 图8-10 I/e/oa-/oad 21=()f(yydxdy=[f(x)d[fy)dy=, 因此1=). 解法2利用分部积分法 frr=rd)rd=frdd(rod) "sd"rdndd'f(d) +(["f(rdnd(["f(ndr) 例 7 求 2 2 2 0 y x dx e dy −   ． 分析 这是一个先对 y 后对 x 的二次积分，由于 2 y e dy −  不能用初等 函数表示，因此无法直接计算．可考虑先交换积分次序再计算． 解法 1 积分区域 D ，如图 8－9 所示．交换积分次序，则 D x y x y y =     {( , ) | 0 ,0 2}， 从而 图 8－9 2 2 2 0 y x dx e dy −   2 2 0 0 y y dy e dx − =   2 2 0 y ye dy − =  1 4 (1 ) 2 e − = − ． 解法 2 利用分部积分法． 2 2 2 0 y x dx e dy −   ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 y y x x x e dy xd e dy   − − = −        2 2 4 0 1 (1 ) 2 x xe dx e − − = = −  ． 注 如果先被积的函数为 2 2 2 sin cos 1 ,sin ,cos , , , , ln y x x x x e x x e x x x  等形式时，一定要交换积 分次序． 例 8 设函数 f x( ) 在区间 [0,1] 上连续，并设 1 0 f x dx A ( ) =  ，求 1 1 0 ( ) ( ) x I dx f x f y dy =   ． 解法 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x D I dx f x f y dy f x f y dxdy = =    ，其中 D x y x =     { 1,0 1}， 如图 8－10 所示，设 D 关于 y x = 对称的区域为 D1 ，则 1 D y x x =     {0 ,0 1}． 对换 x y 、 ，被积函数 f x f y ( ) ( ) 不变，则有 图 8－10 1 ( ) ( ) ( ) ( ) D D f x f y dxdy f x f y dxdy =   ． 故 1 1 1 2 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) D D I f x f y dxdy f x dx f y dy A = = =    ， 因此 1 2 2 I A = ． 解法 2 利用分部积分法． ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x dx f x f y dy f y dy f x dx f y dy d f t dt = =        1 1 1 1 0 1 0 1 [( ( ) )( ( ) )] ( ( ) ) ( ( ) ) x x x x = − f y dy f t dt f t dt d f t dt      1 2 0 1 1 ( ( ) ) ( ( ) ) x x = + A f t dt d f t dt    D x y o y x = 1 y x = x y o 2 2 D