=+05=8-=5f 例9计算二重积分1=+-少d6,其中D为直线y=xx=-1y=1所围成的区 域. 解法1积分区域D如图8一11所示.若将D视为X-型区域，则 D={x,川x≤y≤1，-1≤x≤1 于是， 1=[dx[y+x-ydy =-L+x- -L- - 图8-11 解法2将D视为Y-型区域，D=x川-1≤x≤y,-1≤y≤.于是， 1=f+x- =y[-r++-yx+r+ =+2-y+0-yrh+0+心2-n2-了-] =+0-yn+明s=[Dy+0-nl+] =立[4-2y+4r2+y)-402-1+= 解法3利用奇偶对称性。将被积区域D分成三部分，如图8一1所示.被积函数是关 于x的偶函数，关于y的奇函数，因此 I=∬fx,yd+∬fx,ya+j∬fx,yd =0+2可xd=2可Wi+-y4=2×好 注比较解法1和解法2，虽然两种划分积分区域的方法都得到一个二次积分，但是显 然解法2要复杂得多，由此可见积分次序选择的重要性。因此计算二重积分时，要同时考虑 到被积函数和积分区域的特点，寻求一种较简单的计算方法，如果有奇偶对称性可用，则将 大大简化计算. 例10(o2研)计算二重积分厂em产d,其中D=低训0≤x≤L0sys. 分析被积函数实际上是分段函数，在区域D中，当(x,)∈{(x,川0≤x≤L0≤y≤对2 2 1 2 2 2 0 1 1 1 1 [( ( ) ) ] 2 2 2 x = + = − = A f t dt A A A  ． 例 9 计算二重积分 2 2 1 , D I y x y d = + −   其中 D 为直线 y x x y = = − = , 1, 1 所围成的区 域． 解法 1 积分区域 D 如图 8－11 所示． 若将 D 视为 X − 型区域，则 D x y x y x =   −   {( , ) | 1, 1 1}． 于是， 1 1 2 2 1 1 x I dx y x y dy − = + −   3 1 2 2 1 2 1 1 [(1 ) ] 3 x x y dx − = − + −  3 1 2 2 1 1 [( ) 1] 3 x dx − = − −  ( ) 1 3 0 2 1 1 3 2 = − − = x dx  ． 解法 2 将 D 视为 Y − 型区域， D x y x y y = −   −   {( , ) | 1 , 1 1} ．于是， 1 2 2 1 1 1 y I ydy x y dx − − = + −   1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 )ln( 1 ) 2 y y x y x y x y x dy − − =  − + + − + − +      1 2 2 2 2 1 1 2 (1 )ln(1 ) ( 1)ln( 2 1) 2 y y y y y y y dy − = + − + − + + − − −      1 1 2 2 3 1 1 1 1 (1 )ln(1 ) ( )ln(1 ) 2 2 y y y y dy y y y y dy − − = + − + = + − +           1 2 3 2 2 1 1 1 (4 2 4 ) 4( 1) ln(1 ) 32 2 y y y y y y − = − + + − − + =     ． 解法 3 利用奇偶对称性．将被积区域 D 分成三部分，如图 8－11 所示．被积函数是关 于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，因此 1 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) D D D I f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy = + +    3 0 2 ( , ) D = + f x y dxdy  1 1 2 2 0 1 1 2 1 2 x 4 2 = + − =  = dx y x y dy   ． 注 比较解法 1 和解法 2，虽然两种划分积分区域的方法都得到一个二次积分，但是显 然解法 2 要复杂得多，由此可见积分次序选择的重要性．因此计算二重积分时，要同时考虑 到被积函数和积分区域的特点，寻求一种较简单的计算方法，如果有奇偶对称性可用，则将 大大简化计算． 例 10（02 研） 计算二重积分 2 2 max{ , } x y D e dxdy  ，其中 D x y x y =     {( , ) | 0 1,0 1}． 分析 被积函数实际上是分段函数，在区域 D 中， 当 ( , ) {( , ) | 0 1,0 } x y x y x y x      y x = y =1 1 x =−1 −1 −1 x y o D1 D2 D3 1 图 8－11