(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布 (Ⅱ)X与Y的相关系数pxy (Ⅲ)Z=X2+Y2的概率分布 【分析】本题的关键是求出(X,Y)的概率分布,于是只要将二维随机变量(X,Y)的各取值 对转化为随机事件A和B表示即可 【详解】(I)因为P(AB)=P(A)P(B|4) 12’于是P( B P(AB) I P(A B)6 则有P{X=1,Y=1}=P(AB) P{X=1,Y=0}=P(AB)=P(A)-P(AB)= 6 Px=0=1l=P(4)=PB)-P(46)=12 P(X=0,Y=0=P(AB)1-P(AU B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=4 (或P{X=0,Y=0} 1-1=2) 即(X,Y)的概率分布为: 0 2 3 ()方法一:因为EX=P(4)=,EY=P(B)=,B(打 6 EX=P(A)==, EY=P(B)= DX= EX -(EX)16 DY=EY-(EY COv(X, Y)=E(XY-EXEY 24 所以X与Y的相关系数 Cov(X,r) DX·DY 方法二:X,Y的概率分布分别为13 (Ⅰ) 二维随机变量 (X,Y) 的概率分布; (Ⅱ) X 与 Y 的相关系数 XY ρ ; (Ⅲ) 2 2 Z = X +Y 的概率分布. 【分析】本题的关键是求出 (X,Y) 的概率分布，于是只要将二维随机变量 (X,Y) 的各取值 对转化为随机事件 A 和 B 表示即可． 【详解】 (Ⅰ) 因为 12 1 P(AB) = P(A)P(B | A) = ， 于是 6 1 ( | ) ( ) ( ) = = P A B P AB P B ， 则有 12 1 P{X = 1,Y = 1} = P(AB) = ， 6 1 P{X = 1,Y = 0} = P(AB) = P(A) − P(AB) = ， 12 1 P{X = 0,Y = 1} = P(AB) = P(B) − P(AB) = ， 3 2 P{X = 0,Y = 0} = P(A B) = 1− P(A B) = 1−[P(A) + P(B) − P(AB)] = ， ( 或 3 2 12 1 6 1 12 1 P{X = 0,Y = 0} = 1− − − = )， 即 (X,Y) 的概率分布为： Y X 0 1 0 1 3 2 12 1 6 1 12 1 (Ⅱ) 方法一：因为 4 1 EX = P(A) = ， 6 1 EY = P(B) = ， 12 1 E(XY) = ， 4 1 ( ) 2 EX = P A = ， 6 1 ( ) 2 EY = P B = ， 16 3 ( ) 2 2 DX = EX − EX = ， 16 5 ( ) 2 2 DY = EY − EY = ， 24 1 Cov(X ,Y) = E(XY) − EXEY = ， 所以 X 与 Y 的相关系数 15 15 15 ( , ) 1 = =  = DX DY Cov X Y ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为