【详解】(1)因为1=2=6是A的二重特征值,故A的属于特征值6的线性无关的特 征向量有2个,由题设知a1=(10)},a2=(2,11)为A的属于特征值6的线性无关特征 向量 又A的秩为2,于是A=0,所以A的另一特征值3=0.设3=0所对应的特征向 量为a=(x1,x2,x3),则有a1a=0,a2a=0,即 0 2 +x 0. 得基础解系为a=(-11),故A的属于特征值λ3=0全部特征向量为 ka=k(-111(k为任意不为零的常数) I)令矩阵P=(ax1,a2a),则 P-lAP 所以 12-1Y6 A=P 6 P 6 333 24 2-24 【评注】这是一个有关特征值和特征向量的逆问题,即已知矩阵的部分特征值和特征向量 要求另一部分特征值,特征向量和矩阵.这在历年考研题中还是首次出现 但几乎原题可见《数学复习指南》P362例58,《考研数学大串讲》(2002版,世界图书出 版公司)P186例15和例16,以及文登数学辅导班上讲授的例子 (22)(本题满分13分) 设A,B为两个随机事件且P(4)=1,P(B14)=1,P(A1B x={4发生, y={1B发生, 0,A不发生 0,B不发生 求12 【详解】 (Ⅰ) 因为 λ1 = λ2 = 6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特 征向量有 2 个．由题设知 T α (1,1,0) 1 = ， T α (2,1,1) 2 = 为 A 的属于特征值 6 的线性无关特征 向量． 又 A 的秩为 2，于是 | A |= 0 ，所以 A 的另一特征值 λ3 = 0 ．设 λ3 = 0 所对应的特征向 量为 T α (x , x , x ) = 1 2 3 ，则有 α1 α = 0 T ，α2 α = 0 T ，即    + + = + = 2 0, 0, 1 2 3 1 2 x x x x x 得基础解系为 T α = (−1,1,1) ，故 A 的属于特征值 λ3 = 0 全部特征向量为 T kα = k(−1,1,1) ( k 为任意不为零的常数)． (Ⅱ) 令矩阵 ( , , ) P = α1 α2 α ，则           = − 0 6 6 1 P AP ， 所以 1 0 6 6 −           A = P P                 − − −                     − = 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 0 1 1 0 6 6 0 1 1 1 1 1 1 2 1           − = − 2 2 4 2 4 2 4 2 2 ． 【评注】 这是一个有关特征值和特征向量的逆问题, 即已知矩阵的部分特征值和特征向量, 要求另一部分特征值, 特征向量和矩阵. 这在历年考研题中还是首次出现． 但几乎原题可见《数学复习指南》P.362 例 5.8, 《考研数学大串讲》(2002 版, 世界图书出 版公司)P.186 例 15 和例 16, 以及文登数学辅导班上讲授的例子. (22) (本题满分 13 分) 设 A , B 为两个随机事件,且 4 1 P(A) = , 3 1 P(B | A) = , 2 1 P(A | B) = , 令    = ， 不发生， 发生， A A X 0 1,    = 0 . 1, ， 不发生 发生， B B Y 求