第十章 第1节 1.(1)(i)非一致收敛(i)一致收敛 (2)一致收敛 (3)()非一致收敛(i)一致收敛 (4)(i)非一致收敛(i)一致收敛 (5)一致收敛 (6)非一致收敛 (7)()一致收敛(i)非一致收敛 (8)()非一致收敛.(i)非一致收敛 (9)非一致收敛 (10)(i)非一致收敛(i)一致收敛 (11)(i)非一致收敛(i)一致收敛 (12)(i)非一致收敛(i)一致收敛 4.不成立; lim s(1)=≠S"(1) 5.(1)a<1.(2)a<2.(3)a<0 6.提示:Vn>0,证明{Sn(x)在[a+nb-上一致收敛于S(x)取0<a<n, 则S(x)在口+ab-ad]上一致连续,即vE>0,3δ>0,vx,x"∈{a+a,b-a] 只要x-x-<d,就成立S(x)=S(x")<E.取N=max 12 当n>N且x∈口+nb-川]时,x+∈口+a,b-d],于是|Sn(x)-S(x)= S(5)-S(x)<E 7.提示设S0(x)≤M,则|Sn(x)≤M 8.提示:设(x)≤M.由S()=0,得到vE>0,38>0,当x∈[-81]时, "S(x)<E;再由"}在-]的一致收敛性,3N,当n>N时,对一切 x∈p-]成立|x<元 第2节 1.(1)非一致收敛 (2)一致收敛 (3)一致收敛第十章 第 1 节 1．（1）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （2）一致收敛. （3）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （4）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （5）一致收敛. （6）非一致收敛. （7）(i) 一致收敛. (ii) 非一致收敛. （8）(i) 非一致收敛. (ii) 非一致收敛. （9）非一致收敛. （10）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （11）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （12）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. 4. 不成立; '(1) 2 1 lim (1) ' Sn S n = ≠ →∞ . 5. (1) α <1. (2) α < 2 . (3) α < 0 . 6. 提示: ∀η > 0 , 证明{ } Sn (x) 在[a +η,b −η]上一致收敛于 S'(x) . 取0 < α < η , 则 S'(x) 在[a +α,b −α]上一致连续, 即∀ε > 0, ∃δ > 0 , ∀x', x"∈ [ ] a +α,b −α , 只要 x'−x" < δ , 就成立 S'(x') = S'(x") < ε . 取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = δ η α 1 , 1 N max , 当n > N 且 x∈[ ] a +η,b −η 时, + ∈ n x 1 [a +α,b −α], 于是 Sn (x) − S'(x) = S'(ξ) − S'(x) < ε . 7. 提示: 设 S0 (x) ≤ M , 则 ! ( ) n x S x M n n ≤ . 8. 提示: 设 S(x) ≤ M . 由 S(1) = 0 , 得到 ∀ε > 0, ∃δ > 0 , 当 x ∈[ ] 1−δ ,1 时, x S(x) < ε n ; 再由 { }n x 在 [0,1−δ ] 的一致收敛性, ∃N, 当 n > N 时, 对一切 x ∈[0,1−δ ] 成立 M x n ε < . 第 2 节 1．（1）非一致收敛. （2）一致收敛. （3）一致收敛. 1