题10.5 1.求f(x)=x的 Bernstein多项式Bn(,x) 2.设f(x)=√x,x∈p,1,求它的四次 Bernstein多项式B4(x) 3.设∫(x)在{a,b]上连续,证明:对任意给定的ε>0,存在有理系数多项式P(x),使得 I P(x)-f(x) 对一切x∈[a,b]成立 4.设∫(x)在[a,b上连续,且对任一多项式g(x)成立 f(x)g(x)dx=0。 证明在[a,b]上成立f(x)≡0。 5.设P(x)=0,Pn1(x)=Pn(x)+ (n=0,1,2;…),证明:(Pn(x)}在[-1,1上一 2 致收敛于|x|。 (提示:应用Din定理)习 题 10.5 1. 求f (x) = x 3 的Bernstein多项式 Bn (f , x)。 2. 设 f (x) = x ，x∈[0, 1]，求它的四次 Bernstein 多项式 B4 (f ,x)。 3. 设 f (x)在[a, b]上连续，证明：对任意给定的ε＞0，存在有理系数多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b]成立。 4. 设 f (x)在[ , a b]上连续，且对任一多项式 g(x) 成立 ( ) ( ) = 0 ∫ b a f x g x dx 。 证明在[ , a b]上成立 f (x) ≡ 0。 5. 设 (x) = 0， (x) = (x) + P0 Pn+1 Pn 2 ( ) 2 2 x P x − n （n = 0,1,2,…），证明：｛ (x)｝在[-1,1]上一 致收敛于｜x｜。 Pn （提示：应用 Dini 定理） 7