第三章导数与微分 3-2函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来研究;而微分则是直接研究 函数的增量,这有许多方便之处 32-1函数微分的定义 定义假设∫(x)在点x0的增量可表示成 Af(xo)=A(xo Ax+o(Ax) 则称函数f(x)在点x0可微。 生函数A(x0)x称为函数f(x)在点x0的微分 记作小(x)=4x)Ax,或者d1=4x)x 注1:在微分d(x0)=A(x0)△x中,当确定点x0时函数f(x)在 点x0的微分d(x0)是自变量增量Ax=x-x0的线性函数 注2当△x很小时,f(x)在点x0的微分d(x0)=A(x0)Ax可以 作为函数增量(x0)=f(x0+△x)-f(x)的近似值,所产生的误 差|4(x0)-d(x0)与Ax相比较时高阶无穷小量.因此俗称 微分是增量的线性主部,主部意主要部分。 3-22微分的基本性质 性质一,函数可微与可导是等价的。 若函数f(x)在点x0可导,则它在点x0必可微,且: df(xo)=f(xo)Ar, A(xo)=f(xo) 反之,若f(x)在点x可微,则它在点x0必可导,且 f(x0)=A(x0) 证明:(1)可导→可微 my()2r(x)存在=A(x=r(x+△x) f(x)在点x0可微,A(x)=f(x0); 第三章导数与微分第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 3-2 函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来研究; 而微分则是直接研究 函数的增量，这有许多方便之处。 3-2-1 函数微分的定义 定义 假设 f (x) 在点 0 x 的增量可表示成, ( ) 0 f x = A(x )x + o(x) 0 , 则称函数 f (x) 在点 0 x 可微。 线性函数 A(x )x 0 称为函数 f (x) 在点 0 x 的微分, 记作 ( ) 0 df x = A(x )x 0 , 或者 0 d x y = A(x )x 0 . 注1: 在微分 ( ) 0 df x = A(x )x 0 中,当确定点 0 x 时. 函数 f (x) 在 点 0 x 的微分 ( ) 0 df x 是自变量增量 0 x = x − x 的线性函数. 注2:当 x 很小时, f (x) 在点 0 x 的微分 ( ) 0 df x = A(x )x 0 可以 作为函数增量 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x = f x + x − f x 的近似值, 所产生的误 差 | ( ) ( )| 0 0 f x − df x 与 x 相比较时高阶无穷小量. 因此俗称: 微分是增量的线性主部, 主部意主要部分。 3-2-2 微分的基本性质 性质一，函数可微与可导是等价的。 若函数 f (x) 在点 0 x 可导，则它在点 0 x 必可微, 且： d f (x ) = f (x )x 0 0 , ( ) ( ) 0 0 A x = f  x ; 反之，若 f (x) 在点 0 x 可微，则它在点 0 x 必可导, 且 ( ) ( ) 0 0 f  x = A x . 证明：(1) 可导  可微 ( ) lim ( ) 0 0 0 f x x f x x =     → 存在  ( ) 0 f x = f (x )x + o(x) 0  f (x) 在点 0 x 可微, ( ) ( ) 0 0 A x = f  x ;