《高等数学》上册教案 第四章不定积分 第四章不定积分 §1、不定积分的概念 一.原函数与不定积分 定义1、设函数Fx)、fx)在区间I上有定义，re1,若有F'(x)=fx),则称Fx)是f) 在区间1上的一个原函数。 如果质点的路程函数为s=s,速度函数为()，已知s)=(0,由定义s)是)的 一个原函数：(sinx)=cosx,故sinx是cosx的一个原函数，… 问题：①在什么条件下，一个函数一定有原函数，是否唯一？ ②如何求原函数： 定理1、（原函数存在性定理）区间上的连续函数一定有原函数 注：①初等函数在定义区间内连续，故初等函数在其定义区间内一定有原函数： ②如果F(x)是fx)的一个原函数，即F(x)=fx):由于(F(x)+c)=x),表明F(x)+c也 是x)的原函数(c是任意常数)：表明原函数不唯一。 定理2、x)的任意两个原函数之间最多相差一个常数。 证：设Fx)、G(x)都是函数fx)的原函数，即F(x)=f(x),G(x)=f(x,对任意的x,有 F(x)-G(x)=F(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0 即Fx)-G(x)=c,或F(x)=G(x)+c。 注：根据定理2，如果已知fx)的一个原函数为F(),则fx)的所有的原函数可以表示为 F(x)+c,即f)的原函数的全体为{Fx)+c,称为fx)的原函数族。 定义2、设fx)在区间I上的原函数的全体为Fx)+以，称其为fx)在区间上的不定积分， 记作∫fx女=Fx)+c。其中∫为积分号，x为积分变量，fx)为被积函数，fx 为被积表达式。 由此定义，由于s'0)=w),则「h=s)+c;由于(sinx)=cosx,则[cosxdx=sinx+c, acane 注：由不定积分的定义，f)的不定积分为Fx)+c是一族曲线，称之为积分曲线族。其特 点：只要作出其中一条曲线y=F(x)的图，通过沿y轴的上下平移，即可得到所有的积 第1页一共24页 泰永安