第四章部分重要题目解答 3.在线性空间V中,设向量β可被向量组a1,a2,a3,…,a线性表示,但不能被向量 组a1,a2,03,,a-1线性表示。证明向量组a1,a2,a3,,a与向量组a1,a2,a3,,ar-1,等 价。 证明 (1)由题意知,a1,a2,a3…,ar-1可被向量组a1,a2,a3,…,a线性表示,又已知可被向 量组a1,a2,a3,,a线性表示,因此,a1,a2,a3,,ar-1,B可被向量组a1,a2,a3,,a线 性表示 (2)3可被向量组a1,a2,a3,,a线性表示,因此存在一组数k,k2,k,使得β= k1a1+k2a2+…+kar。又因为β不能被向量组a1,a2,a3,,axr-1线性表示,因此k≠0 气a,-1。所以a可以由向量组a1,a2,a3,…,a-1线性表示。 因此向量组a1,a2,a3,,a可以由a1,a2,a3,,a-1,B线性表示。 (3)因此,向量组a1,a2,a3,……,a与向量组a1,a2a3,……,anx-1,B等价。 4.在线性空间V中,向量组a1,a2,a3,…,a,线性无关,任取?-1个数入1,A2,……,入2-1 令 B1=a1+ A1a, B2=a2+ a2a B B 试证:B1,B2,,B是线性无关的。 证明: 进行初等列变换(C-λC(≠r),这样做矩阵的秩不变,之后矩阵变为:1oŸ‹©­áK8)â 3. 3Ç5òmV •ßï˛βåï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5L´ßÿUï˛ |a1, a2, a3, . . . , ar−1Ç5L´"y²ï˛|a1, a2, a3, . . . , arÜï˛|a1, a2, a3, . . . , ar−1, β d" y²µ (1)dKøßa1, a2, a3, . . . , ar−1åï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5L´ßqÆβåï ˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5L´ßœdßa1, a2, a3, . . . , ar−1, βåï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ 5L´" (2)βåï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5L´ßœd3ò|Ík1, k2, . . . , kr߶β = k1a1+k2a2+· · ·+krar"qœèβÿUï˛|a1, a2, a3, . . . , ar−1Ç5L´ßœdkr 6= 0" Kar = 1 kr β − k1 kr a1 − · · · − kr−1 kr ar−1"§±arå±dï˛|a1, a2, a3, . . . , ar−1Ç5L´" œdï˛|a1, a2, a3, . . . , arå±da1, a2, a3, . . . , ar−1, βÇ5L´" (3)œdßï˛|a1, a2, a3, . . . , arÜï˛|a1, a2, a3, . . . , ar−1, βd" 4. 3Ç5òmV •ßï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5Ã'ß?γ−1áÍλ1, λ2, . . . , λγ−1 - β1 = a1 + λ1ar β2 = a2 + λ2ar . . . βr−1 = ar−1 + λr−1ar βr = ar £yµβ1, β2, . . . , βr¥Ç5Ã'" y²µ È  β1 β2 . . . βr  ?1–CÜ£Ci − λiCr(i 6= r)§ß˘â› ùÿCßÉ￾› Cèµ  a1 a2 . . . ar