由于向量组a1,a2,(3,,a线性无关,因此向量组a1,a2,a3,…,ar的秩为r,因此,向 量组β1,B2,,B的秩也是r,因此,B2,…,B线性无关。 5.证明向量组 3 是R中的一个基,并求向量a=0在此基下的坐标。 解: 首先,∈1,e2,e3线性无关,因此e1,e2,e3是一个基。 1-10 0 解之得: 。因此,a=|0在此基下的坐标为2 7.下列向量组是否是线性空间P[x小3的基 (1)a1=x+1,a2=x2+x,a3=x32+1,a4=x3+x2+2x+2 (2)月1=-1+x,B2=1-x2,3=-2+2x+x2,B4=x3 证明 (1)a4=a1+a2+a3,线性相关,因此,不是一组基 0100 1020 1020 秩为4,因此线性无关,且Pz3的维数为 0-110 00-10 0001 四,因此,B1,B2,B3,B4是P3的一组基 9在线性空间R中,取两个基1 duï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5Ã'ßœdï˛|a1, a2, a3, . . . , arùèrßœdßï ˛|β1, β2, . . . , βrùè¥rßœdβ1, β2, . . . , βrÇ5Ã'" 5. y²ï˛|: 1 =   1 1 2  ß 2 =   3 −1 0   ß 3 =   2 0 −1   ¥R3•òáƒßø¶ï˛ α =   2 0 7   3dƒeãI" )µ ƒkß1, 2, 3Ç5Ã'ßœd1, 2, 3¥òáƒ"   1 3 2 1 −1 0 2 0 −1     x1 x2 x3   =   2 0 7   )ɵ   x1 x2 x3   =   2 2 −3   "œdßα =   2 0 7   3dƒeãIè   2 2 −3   7. eï˛|¥ƒ¥Ç5òmP[x]3ƒ" (1)a1 = x + 1, a2 = x 2 + x, a3 = x 3 + 1, a4 = x 3 + x 2 + 2x + 2 (2)β1 = −1 + x, β2 = 1 − x 2 , β3 = −2 + 2x + x 2 , β4 = x 3 y²µ (1)a4 = a1 + a2 + a3ßÇ5É'ßœdßÿ¥ò|ƒ" (2)   −1 1 −2 0 1 0 2 0 0 −1 1 0 0 0 0 1   →   0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 −1 0 0 0 0 1   ùè4ßœdÇ5Ã'ßÖP[x]3ëÍè oßœdßβ1, β2, β3, β4¥P[x]3ò|ƒ" 9.3Ç5òmR4•ß¸áƒµ